【题解】CF1528B Kavi on Pairing Duty

原题链接点这里

题意：将 $2n$ 个点两两匹配为 $n$ 个点对，问有多少方案满足：

• 任意两个点对，至少满足【距离相等】或【一对点 在 另一对点连接成的线段上】的其中一个条件。

答案对 $998244353$ 取模，$n \le 10^6$。

解析

看 $n \le 10^6$ 就应该知道这不是结论题，OEIS 大概率找不到。

我们尝试分类点对分布的情况，如下图是 $n=3$ 的所有方案。

显然，我们可以进行第一次分类：当 $1,2n$ 两点匹配，中间会留下 $2n-2$ 个点（上图第 $2,3,5$ 个例子），因此 $n$ 的方案数一定被 $n-1$ 的方案数影响。

同理，当 $1,2n-1$ 与 $2,2n$ 都匹配时，中间会留下 $2n-4$ 个点（上图第 $4$ 个例子），因此 $n$ 的方案数还被 $n-2$ 的方案数影响。

结论一：$n$ 的方案数与 $0~(n-1)$ 的方案数的和有关。

那么数到这，上图的第 $1,6$ 个例子还没有提及，我们可以试着讨论一下。

但看了半天，除了第 $1$ 个例子被分成 $3$ 段，第 $6$ 个例子还是 $1$ 段以外没有别的什么特点。

这时不妨画一画 $n=4$ 的情况（其余 $10$ 种最外面有环的方案省略）：

可以发现，如果要将 $2n$ 个点分为若干个互不相交的段，分的段数必须是 $n$ 的因数。

而每种因数分别代表一种情况。

所以，设 $2n$ 个点的方案数为 $dp_n$，那么有方程式（$d(i)$ 指 $i$ 的约数个数）

$$dp_i=d(i)+\sum_{j=0}^{i-1}dp_j$$

$1 \sim n$ 的 $d(i)$ 可以用类似埃拉托色尼筛法的办法以 $O(n \log n)$ 的复杂度解决，而 $\sum dp_j$ 可以递推解决。

代码

#include <cstdio>
#define INF 1e9
#define eps 1e-6
#define MOD 998244353
typedef long long ll;

int n, s[1000010], dp[1000010], sum, ans;

int main(){

    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = i; j <= n; j += i)
            s[j]++;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        dp[i] = (sum + s[i]) % MOD;
        sum = (sum + dp[i]) % MOD;
    }
    printf("%d\n", dp[n]);

    return 0;
}