「数论」整除分块
题目
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给定正整数 $n$，求如下式子的值：
$$\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$$
- 答案对一个数取模，$n \le 10^{15}$，时间限制 2s。
思考
如果我们暴力求解，复杂度是 $O(n)$ 的，那程序几天也跑不完。
思考一下，其实我们的瓶颈，就是出于 $i$ 太多了。
那枚举什么量，才能让枚举的数量变少？
请看下面这张图，这是一个反比例函数图象的其中一支（图片绘于 desmos）：
我们把 $f(x)=\frac{10^{15}}{x}$，$y=\lfloor f(x) \rfloor$ 的图象画了出来。
明显地看到，在 $x$ 比较大的时候，$\frac{10^{15}}{x}$ 十分靠近 $x$ 轴。
这么说明，随着 $x$ 越来越大，相同的 $y$ 的值也会越来越多。
像 $n=10^{15}$ 的时候，$\frac{10^{15}}{5 \times 10^{14}+1}$ 到 $\frac{10^{15}}{10^{15}}$ 下取整的值都是 1。
按照刚刚的枚举方法，相当于你有约一半的枚举量都浪费于答案为 1 的情况了。
那……我们枚举答案？
好办法！
整除分块
一个数字，最多有多少个因数？
最理想的状态下，这个数满足：$\forall i \in [1,\sqrt{n}], \ i \mid n$。
为什么这个数是最理想的，因为如果 $i$ 大于 $\sqrt{n}$，且 $i \mid n$，则 $\frac{n}{i}$ 肯定在 $[1, \sqrt{n}]$ 范围内，必出现过。
所以这个数就是因数尽可能多的数。
同时有一个结论，若 $i \mid n$，则 $\frac{n}{i} \mid n$。
所以，$n$ 的因数个数最多不超过 $2 \times \sqrt{n}$，取整后的不同答案也不会超过 $2 \times \sqrt{n}$。
因此，不同答案的个数不超过 $2 \times \sqrt{n}$。
而观察数据范围，$2 \times \sqrt{n}$ 在可以接受的范围内。
如果能够设计出一种刚好能枚举所有因数的算法，这道题就可以被解决。
现在来推导一下：
- 不论 $n$ 取多大，$n$ 一定为它自己的因数，以下以 $n=10$ 为例。
- 因此，当 $i\in [1,1]$ 时，$\frac{10}{i}$ 答案为 $10$。
- 接下来让枚举区间左端点设为原右端点 + 1，即 $[2,1]$。
- 容易得到，这时区间内每个数的答案均为 $\lfloor\frac{10}{2}\rfloor=5$，即为 $a$。
- 可以得出右端点 $r=\lfloor\frac{10}{5}\rfloor=2$。
- 此时答案区间为 $[2,2]$，累计为 $a \times (r-l+1)=5$。
- 当区间 $[3,3]$ 计算完毕时，左端点变为 $2+1=3$。
- 此时区间内每个数答案均为 $\lfloor\frac{10}{3}\rfloor=3$。
- 可以得出右端点 $r=\lfloor\frac{10}{3}\rfloor=3$。
- 此时答案区间为 $[3,3]$，累计为 $3 \times (3-3+1)=3$。
- 当区间 $[3,3]$ 计算完毕时，左端点变为 $3+1=4$。
- 此时区间内每个数答案均为 $\lfloor\frac{10}{4}\rfloor=2$。
- 可以得出右端点 $r=\lfloor\frac{10}{2}\rfloor=5$。
- 此时答案区间为 $[4,5]$，累计为 $2 \times (5-4+1)=4$。
- 最后，左端点变为 $5+1=6$。
- 此时区间内每个数答案均为 $\lfloor\frac{10}{6}\rfloor=1$。
- 可以得出右端点 $r=\lfloor\frac{10}{1}\rfloor=10$。
- 此时答案区间为 $[6,10]$，累计为 $1 \times (10-6+1)=5$。
- 发现右端点已经到 $n$ 了，停止算法。
- 答案为 $10+5+3+4+5=27$，与 $10+5+3+2+2+1+1+1+1+1=27$ 一致。
很明显，这个算法将 $\frac{n}{i}$ 相同的情况整合到一块共同处理，效率提高不少。
