前缀和与差分 Extra

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扩展一：二阶前缀和

　　给定一个 $n \times m$ 的矩阵，有 $T$ 次询问，每次会给出四个数 $a,b,c,d$，求以点 $(a,b)$ 为左上角，点 $(c,d)$ 为右下角的矩形所有元素和。

　　$1 \le n,m \le 3000$，$1 \le T \le 10^6$。

　　我们先把问题变简单：如何用二维前缀和求出整个矩阵的和？

　　观察一维递推式：$S_i=S_{i-1}+a_i$。

　　那么二维递推式大概长这样 $S_{i,j}=F+a_{i,j}$，$F$ 为由前面递推出的数字。

　　先假设 $F=S_{i-1,j}+S_{i,j-1}$，但是很容易推翻这个假设，因为从 $(1,1)$ 到 $(i-1,j-1)$ 之间矩阵的所有数被算了两次。

　　所以按照容斥原理，累加值应该减去一份 $S_{i-1,j-1}$。

　　所以 $S_{i,j}=S_{i-1,j}+S_{i,j-1}-S_{i-1,j-1}+a_{i,j}$，而整个矩阵的和就是 $S_{n,m}$。

　　看不懂过程的可以看看下面的图片帮助理解：

　　

　　然后是第二个问题：怎么 $O(1)$ 查询任意一个子矩阵的元素和？

　　首先，$(1,1)$ 到 $(c,d)$ 的元素和为 $S_{c,d}$。

　　和之前一样，我们需要减去多余的部分，也就是 $S_{a-1,d}$ 和 $S_{c,b-1}$。

　　而且要把减多的还回来，加上 $S_{a-1,b-1}$。

　　也就是：$\texttt{Answer}=S_{c,d}-S_{c,b-1}-S_{a-1,d}+S_{a-1,b-1}$。

　　图片解释：