高精度计算

高精度计算有几种常见的类型：

• 两个很大的整数相加
  A, B的位数均小于等于10⁶

• 两个很大的整数相减
  A, B的位数均小于等于10⁶

• 一个很大的整数乘以一个比较小的整数
  A的位数小于等于10⁶，B的数值小于等于10⁹

• 一个很大的整数除以一个比较小的整数
  A的位数小于等于10⁶，B的数值小于等于10⁹

还有 两个很大的整数相乘 和 两个很大的整数相除 这两种情况，不过不常用，暂时不学了。

我们写数字习惯从高位开始写，但是模拟加减乘除时由于要做进位的操作，所以从低位开始存比较方便。即：数组第 0 位存个位，第 1 位存十位，第 2 位存百位······

高精度加法

C = A + B
用变量 t 表示进位，要么是 1 要么是 0 。

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {
    vector<int> C; // 和
    int t = 0; // 1表示进位，0表示不进位
    for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++) {
        if (i < A.size()) t += A[i]; // 把t加上A的倒数第i位
        if (i < B.size()) t += B[i]; // 把t加上B的倒数第i位
        C.push_back(t % 10); // 存入第i位
        t /= 10; // 如果t大于10则进位，此时t/10就是1（反之则为0），为下一位的计算做准备
    }
    if (t) C.push_back(1); // 同理，进位了
    return C;
}
int main() {
    string a, b; // 用string来读入大整数
    cin >> a >> b;
    vector<int> A, B;
    for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0'); // 倒序存入数组
    for (int i = b.size()-1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i]-'0'); // 倒序存入数组
    auto C = add(A, B);
    for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]); // 倒序输出
}

add()函数也可以写成下面这样，（其实也没啥区别，长度差不多）：

点击查看代码

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {
	if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
    
	vector<int> C;
        int t = 0;
	for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
		t += A[i];
		if (i < B.size()) t += B[i];
		C.push_back(t % 10);
		c /= 10;
	}
	if (t) C.push_back(t);
	return C;
}

高精度减法

以下给出的模板是能保证减数和被减数均为正整数的情况。如果要处理存在负整数的情况，就分情况讨论一下，无非是要么绝对值相加要么绝对值相减，判断一下字符串第一位是不是负号，打标记，就行了。实现起来比较简单，这里就不写了。

C = A - B

我们 sub() 函数执行之前先处理一下，使 A 和 B 满足 A≥B 。我们写一个函数 cmp() 来判断两个数哪一个更大（或等于另一个），然后令它作减数A，另一个作被减数B。

所以我们把高精度减法的输出写在判断语句里面。

// 返回 A > B 是否成立
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B) {
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size(); // 先看位数，位数多的数自然更大
    for (int i = A.size()-1; i >= 0; i--) // 如果位数相同，则从高位到低位扫描，尝试比较大小
        if (A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];
    return true; // 每一位都相同，那就是A = B，也返回true
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) {
    vector<int> C; // 差
    int t = 0; // 1表示借位，0表示不借位
    for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
        t = A[i]-t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t+10)%10); // 计算后将第i位加入数组。加10再模10是因为要考虑借位的情况
        if (t < 0) t = 1; // t < 0 即 A[i]减去B[i]后小于0，需要向高一位借位，t = 1
        else t = 0; // 否则不需要借位
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前导0
    return C;
}

int main() {
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    vector<int> A, B;
    for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');
    for (int i = b.size()-1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i]-'0');

    if (cmp(A, B)) { // A >= B，直接计算A - B并输出即可
        auto C = sub(A, B);

        for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    }
    else { // A < B，那么计算A - B实际上是计算B - A，输出时加个负号即可
        auto C = sub(B, A);

        cout << '-';
        for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    }
    return 0;
}

高精度乘法

计算一个很大的数 A 乘以一个较小的数 B 。
C = A * B

同样，还是模拟小学时学习的列竖式计算过程。模拟过程如下图（Cᵢ表示积从个位开始第i位的数，tᵢ表示第i-1位计算后进位到第i位的数）：

计算得到的积就是C₃ * 10³ + C₂ * 10² + C₁ * 10¹ + C₀ * 10⁰

vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {
    vector<int> C; // 积
    int t = 0; // 表示进位
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) {
        if (i < A.size()) t += A[i]*b;
        C.push_back(t%10);
        t /= 10;
    }
    return C;
}

int main() {
    string a;
    int b; // 因为乘数B不是大整数，用int存就行。
    cin >> a >> b;

    vector<int> A;
    for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');

    auto C = mul(A, b);

    for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);

    return 0;
}

高精度除法

计算一个很大的数 A 除以一个较小的数 B 。
C = A / B

C是商，r是余数。

除法的计算是从高位到低位依次进行的，这一点与加法、减法、乘法刚好相反。这意味着除法正序读入后直接就可以操作了，其实不必用倒序来存。但是吧，多数情况下算法题会要求我们同时实现加减乘除四种操作的。因此为了方便，我们还是统一用倒序来存。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) { // 注意r也是引用传回去的
    vector<int> C; // 商
    r = 0; // 最高位的余数是0
    for (int i = A.size()-1; i >= 0; i--) {
        r = r*10+A[i];
        C.push_back(r/b);
        r %= b;
    }

    reverse(C.begin(), C.end()); // 为了跟加减乘统一操作，这里要逆序存
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前导0
    return C;
}

int main() {
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A;
    for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');

    int r;
    auto C = div(A, b, r);

    for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    cout << '\n' << r << '\n';

    return 0;
}