高精度计算
高精度计算有几种常见的类型:
-
两个很大的整数相加
A, B的位数均小于等于10⁶ -
两个很大的整数相减
A, B的位数均小于等于10⁶ -
一个很大的整数乘以一个比较小的整数
A的位数小于等于10⁶,B的数值小于等于10⁹ -
一个很大的整数除以一个比较小的整数
A的位数小于等于10⁶,B的数值小于等于10⁹
还有 两个很大的整数相乘 和 两个很大的整数相除 这两种情况,不过不常用,暂时不学了。
我们写数字习惯从高位开始写,但是模拟加减乘除时由于要做进位的操作,所以从低位开始存比较方便。即:数组第 0 位存个位,第 1 位存十位,第 2 位存百位······
高精度加法
C = A + B
用变量 t 表示进位,要么是 1 要么是 0 。
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {
vector<int> C; // 和
int t = 0; // 1表示进位,0表示不进位
for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++) {
if (i < A.size()) t += A[i]; // 把t加上A的倒数第i位
if (i < B.size()) t += B[i]; // 把t加上B的倒数第i位
C.push_back(t % 10); // 存入第i位
t /= 10; // 如果t大于10则进位,此时t/10就是1(反之则为0),为下一位的计算做准备
}
if (t) C.push_back(1); // 同理,进位了
return C;
}
int main() {
string a, b; // 用string来读入大整数
cin >> a >> b;
vector<int> A, B;
for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0'); // 倒序存入数组
for (int i = b.size()-1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i]-'0'); // 倒序存入数组
auto C = add(A, B);
for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]); // 倒序输出
}
add()函数也可以写成下面这样,(其实也没啥区别,长度差不多):
点击查看代码
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);
vector<int> C;
int t = 0;
for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);
c /= 10;
}
if (t) C.push_back(t);
return C;
}
高精度减法
以下给出的模板是能保证减数和被减数均为正整数的情况。如果要处理存在负整数的情况,就分情况讨论一下,无非是要么绝对值相加要么绝对值相减,判断一下字符串第一位是不是负号,打标记,就行了。实现起来比较简单,这里就不写了。
C = A - B
我们 sub() 函数执行之前先处理一下,使 A 和 B 满足 A≥B 。我们写一个函数 cmp() 来判断两个数哪一个更大(或等于另一个),然后令它作减数A,另一个作被减数B。
所以我们把高精度减法的输出写在判断语句里面。
// 返回 A > B 是否成立
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B) {
if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size(); // 先看位数,位数多的数自然更大
for (int i = A.size()-1; i >= 0; i--) // 如果位数相同,则从高位到低位扫描,尝试比较大小
if (A[i] != B[i])
return A[i] > B[i];
return true; // 每一位都相同,那就是A = B,也返回true
}
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) {
vector<int> C; // 差
int t = 0; // 1表示借位,0表示不借位
for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
t = A[i]-t;
if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t+10)%10); // 计算后将第i位加入数组。加10再模10是因为要考虑借位的情况
if (t < 0) t = 1; // t < 0 即 A[i]减去B[i]后小于0,需要向高一位借位,t = 1
else t = 0; // 否则不需要借位
}
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前导0
return C;
}
int main() {
string a, b;
cin >> a >> b;
vector<int> A, B;
for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');
for (int i = b.size()-1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i]-'0');
if (cmp(A, B)) { // A >= B,直接计算A - B并输出即可
auto C = sub(A, B);
for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
}
else { // A < B,那么计算A - B实际上是计算B - A,输出时加个负号即可
auto C = sub(B, A);
cout << '-';
for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
}
return 0;
}
高精度乘法
计算一个很大的数 A 乘以一个较小的数 B 。
C = A * B
同样,还是模拟小学时学习的列竖式计算过程。模拟过程如下图(Cᵢ表示积从个位开始第i位的数,tᵢ表示第i-1位计算后进位到第i位的数):
计算得到的积就是C₃ * 10³ + C₂ * 10² + C₁ * 10¹ + C₀ * 10⁰
vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {
vector<int> C; // 积
int t = 0; // 表示进位
for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) {
if (i < A.size()) t += A[i]*b;
C.push_back(t%10);
t /= 10;
}
return C;
}
int main() {
string a;
int b; // 因为乘数B不是大整数,用int存就行。
cin >> a >> b;
vector<int> A;
for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');
auto C = mul(A, b);
for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
return 0;
}
高精度除法
计算一个很大的数 A 除以一个较小的数 B 。
C = A / B
C是商,r是余数。
除法的计算是从高位到低位依次进行的,这一点与加法、减法、乘法刚好相反。这意味着除法正序读入后直接就可以操作了,其实不必用倒序来存。但是吧,多数情况下算法题会要求我们同时实现加减乘除四种操作的。因此为了方便,我们还是统一用倒序来存。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) { // 注意r也是引用传回去的
vector<int> C; // 商
r = 0; // 最高位的余数是0
for (int i = A.size()-1; i >= 0; i--) {
r = r*10+A[i];
C.push_back(r/b);
r %= b;
}
reverse(C.begin(), C.end()); // 为了跟加减乘统一操作,这里要逆序存
while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 去掉前导0
return C;
}
int main() {
string a;
int b;
cin >> a >> b;
vector<int> A;
for (int i = a.size()-1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i]-'0');
int r;
auto C = div(A, b, r);
for (int i = C.size()-1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
cout << '\n' << r << '\n';
return 0;
}
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