CSAPP 第二章 信息的表示与处理（2） 整数运算

加减法运算

　　　　所有的加法运算在内存中的运算都遵循二进制的计算法则，只不过因为相同二进制表示在不同整数类型下表示的数不同，运算法则也有所不同。

　　无符号加法

　　　　计算规则

　　　　　　可以将无符号数的加法视作是一种模运算，在二进制表示中丢弃掉溢出的位的操作就等同于该数mod 2^w-1，任何权重大于 2^w-1的位只需简单舍弃即可。

　　　　　　推导：将权重大于等于2^w的位舍去（实际上只可能有1种舍去的情况，也就是舍弃第w位的“1”）。

　　　　检验方法

　　　　　　对于任意的x和y，只要二者相加的结果小于任何一个被加数，则出现了溢出。

　　　　　　证明：因为对于任意x和y，有0<=x,y<2^w,则产生溢出后x-2^w的值一定小于0，也就是说y相当于减去了一个数，自然会比y本身小。

　　无符号求反（减法）

　　　　　　原理是用2^w对2^w取模后为0.

　　补码加法

　　　　计算规则

　　　　检验方法

　　　　　　当且仅当，两个正数相加后出现了负数或两个负数相加出现了正数，分别出现了正溢出/负溢出.

　　　　　　证明：当两个正数相加出现正溢出时，得到的结果一定是个负数；当两个负数相加出现负溢出时，得到的结果一定是个正数；当正数与负数相加时，不会出现溢出。

　　补码取非

　　　　基本原理

　　　　　　由于补码可同时表示正数和负数，所以绝大多数（实际上只有一个数不满足）补码数的取反就是它的负数；但由于补码正负数取值范围的不对称性，需要特殊考虑最小的负数。

　　　　补码非的位级表示

　　　　　　1.对每一位求补，再对结果+1即可得到非，即：-x=~x+1

　　　　　　2.对二进制表示最右边的”1“的左边所有位进行求补，即可得到非。

　　　　　　可以证明，这两种方法完全等价。

乘法运算

 　　无符号乘法和补码乘法

　　　　　　无符号数乘法（原理与无符号加法大致相同）：

　　　　　　补码乘法：

　　　　　　也就是说，无符号乘法和补码乘法具有相同的位级表示，只不过解读相同的二进制表示时的手段不同，无符号乘法和补码乘法具有位级等价性。

　　计算机中乘法的计算方式

　　　　　　在计算机中，乘法运算比移位运算、加法运算的代价要大得多，在计算乘法时，将其表示为移位运算和加法运算之和。

　　　　　　乘以2的k次方相当于左移位k位。

　　　　　　例：

　　　　　　计算机在计算乘法使用哪种方式与机器密切相关，取决于指令的相对速度。

除法运算

　　　　　　我们只讨论除于2的幂，因为除以2的幂并不能像乘法一样推广到除以任意常数。

　　无符号除法：逻辑右移

　　补码除法1：算术右移（向下舍入）

　　补码除法2：引入偏置值（向上舍入）

　　　　　　当执行算术移位时，有：

 　　　　　　ps：C语言一般执行向零舍入，也就是正数执行算术右移，负数需引入偏置值向零舍入。