拍卖与互联网广告位出租问题

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最近学习了拍卖相关算法，还有博弈论的相关知识，想把最近学习成果总结一下，本次总结拍卖和互联网广告位出租问题，如何设计一种拍卖规则，使得每位广告主的出价正好是自己的实际估值呢？即如何制定一个“鼓励说真话”的规则呢？（注意，出价不一定是最后的成交价）

​ 对于不同的商家A,B,C，广告每点击一次都会获得相关的收益，因此广告主就对曝光率不同的广告位有了自己的利润v0（拍卖时无论怎么样都不会超过v0，只会无限接近v0）。互联网广告位出租问题就是找到一种拍卖形式，得到一种“鼓励说真话”的竞拍机制，能使得广告主出价无限接近自己的估值v0。

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例题

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​ 为了方便起见，本文章提供如上一个例题进行分析：有广告位1，2，对应着广告主A,B,C,广告主A,B,C互相不知道对方的点击收益（这属于商业机密），如何设计拍卖规则，来得到一种“鼓励说真话”的竞拍机制，让成交价和广告主的内心真实估值v0一致。

​ 由上可见，互联网广告位出租问题是未知估值的拍卖策略，而且也是一个多个不同价位的广告位同时拍卖的问题，这种拍卖策略称为广义拍卖竞价策略。为了方便理解，我们先从一个物品拍卖的算法讲起（多人竞拍一件物品），即传统拍卖竞价策略。

一、传统拍卖竞价策略

1、英式拍卖（English Auction****）

英式拍卖又叫公开增价拍卖OAB（Open Ascending Bid），卖家提供物品，在物品拍卖过程中，买家按照竞价阶梯由低至高喊价，出价最高者成为竞买的赢家。为了保证竞价收敛，一般会为竞价设定一个终止时间。

2、荷兰式拍卖（Sealed-bid Auction****）

荷兰式拍卖亦称公开减价拍卖ODB（Open Descending Bid），其过程与英式拍卖过程相反：竞价由高到低依次递减直到第一个买家应价时成交的一种拍卖方法。

3首价密封拍卖FPSB（The first-price sealed auction****）

第一价格密封拍卖，买方将自己的出价写在一个信封里，众多买方进行投标，同一时间揭晓信封价格，出价最高者竞价成功。

4、次价密封拍卖SPSB（The Second Price Sealed Auction****）

又称为维克里拍卖（Vickrey Auction），其拍卖过程和第一价格密封拍卖过程一样，由出价最高的买家获得物品，但他只需要支付所有投标者中的第二高价。

为了方便理解，四种拍卖竞价的特点如下图所示：

总结

二、四种传统拍卖竞价策略的分析

​ 其实通过分析我们可以发现，除了已知估值和未知估值的区别以外，降价拍卖和首价拍卖的策略实质是一样的，同时增价拍卖和次价拍卖的策略实质也是一样的，同时次价拍卖是一个占优策略，即他更容易让成交价bi接近于广告主的利润值v0，这是可以通过数学严格证明的。而下面我们进行一个直观的模拟，分析来比较四种策略的关系。假如各位读者是不同的广告主i，自己的商品估值是v0, (无论如何出价都不会超过v0)我们在不同的竞拍策略下，最终出价bi和自己估值v0的关系是怎么样的？

1.****降价拍卖和首价拍卖

​ 首先来看降价拍卖（荷兰式拍卖）。当卖方从最初的高价逐步降低价格,除非有竞拍者愿意接受并支付当前价格,否则大家都不会有什么行动。当拍卖进行时,竞标者除了知道还没有人接受当前价格之外,并不了解其他任何信息。每一个竞标者i,都会有一个愿意接受商品的价格bi。这样看,降价拍卖过程与首价密封投标拍卖是等同的:这个价格bi的作用与竞标者i的竞标价相同,出价最高的竞标者获得商品,所支付的价格也是这个最高的竞标价。由于竞标者并不互相知道其它人的底价，出于利益的需要，他往往不会出自己的真实估值v0，这就不是一种“鼓励说真话”的机制，所以他出的价格bi往往是及其不稳定的，同时竞价效率也不高（在后期大部分人会放弃竞拍）， Yahoo和Google成立初期都是采用的竞争策略，而最终成交价是波动的（如下图所示）。

不稳定的竞价机制结果

2.****增价拍卖和次价拍卖

​ 现在让我们来看增价拍卖（英式拍卖）。随着卖方逐步提高价格,竞标者相继退出。拍卖的赢家就是留到最后的一个竞标者,他以现在的价格购买商品，同时可以理解为，他所支付的价格是倒数第二个竞标者退出时的价格。

​ 现在设身处地的想一想，假如你是这场拍卖的一个竞标者,思考你应该坚持多久才退出。首先,当价格增长到你的真实估值时,还有必要继续在拍卖中坚持吗?显然没有必要,如果继续坚持,要么会失掉机会什么也得不到,要么赢得商品但是要支付高于自身估值的价格。

​ 其次,当价格还未增长到你的真实估值时应该退出吗?当然也不应该,如果你提前退出将会一无所获,可坚持下来,你可能会以低于真实估值的价钱赢得商品。

​ 所以,这个直观的假设说明在增价拍卖中,应该一直坚持到价格到达你的真实估值为止。假设每个竞标者i的退出价格就是他对该商品的竞标价bi,那么就可以说这个bi是竞标者对该商品的真实估值。基于这种定义,增价拍卖的结果可以从另一个角度确定。竞标价最高的人会坚持得最久，因此而赢得商品,他所付出的价格是倒数第二个退出时的价格。换句话说,他支付的是第二高的竞标价。因此,出价最高的竞标者获得商品，所支付的价格等同于第二高的标价。

** 这就同时是次价密封报价拍卖所使用的规则,区别就在于在增价拍卖中买卖双方有实时互动,而密封报价拍卖则是每个买方提交密封报价。卖家拿到并同时打开以确定胜者。两种拍卖的密切关系能够帮助我们理解次价拍卖中反直觉的定价规则😗***它可以被视为是一个利用密封报价形式的增价拍卖。**此外,在增价拍卖中竞标者会一直坚持,直到当前价格增加到其真实估值, 这就是一种“鼓励说真话”的机制。

​ 经过以上的分析，我们得出了这样的结论：次价拍卖（或者增价拍卖）往往能使得成交价bi接近每个广告主的估值v0，这就是一种“鼓励说真话”的机制，这使得互联网广告商的利润最大化。同时注意到我们之前分析的都是传统拍卖策略，对于多个广告位同时竞拍的广义竞拍策略，该如何制定广义次价拍卖策略呢？下面来进行分析。

1、广义次价GSP（Generalized Second Price****）

这就是单纯的传统次价拍卖的拓展，和传统第二密封竞价（SPSB）类似，出价高者得，不同的是，每个广告主需要对不同的广告位同时出价，最后需要支付该种广告位出价第二高者提出的报价。

回到题目之前举出的事例：

例题

​ 对A分析，若只有一个广告位1，A的最终出价可能会接近于10*200=2000，但是他考虑到有广告位2的存在，一定会有其它广告主会竞争广告位2，广告位1的第二价格肯定会大幅度降低，所以他的出价会低于2000。

​ 同时B和C，由于自身竞争力比较弱，可能会放弃广告位1而出一个很低的值，因此广告位1的成交价可能远低于每个人的预估价v0。

​ ** 综上GSP不是一个“鼓励说真话”的机制，说实话不一定形成纳什均衡，竞价的结果不一定全局最优化的。于是，VCG竞价算法出现了。**

2、VCG（Vickrey-Clarke-Groves****）竞价机制

​ 如何引出这个算法呢？我们来这样考虑，传统的次价拍卖为什么是一种“鼓励说真话”的机制？换句话说次价拍卖是如何让全局最优化，形成纳什均衡的？其实传统次价拍卖可以理解为：若只有一个广告位，有若干广告主竞价，最终出最高价的广告主出的次高价是对出次价广告主没有拍到的损失进行补偿，即假设没有这位出价最高者，次价者就会拍到这个商品，出价最高者给没有拍到的次价者进行补偿，这样的补偿就得到一个全局最优解，即形成了一个“鼓励说真话”的机制了。

​ 而VCG（Vickrey-Clarke-Groves）竞价机制就是广告主为网民的一次点击支付他对其他广告主造成的效用损失。

举例

例题

定价过程：
1）假设A不参加竞价，B和C的社会总效用为2004 + 1002 = 1000元
2）A如果参加竞价，B和C的社会总效用为1004 + 02 = 400元
3）因为A参加了竞价，导致B和C的社会总效用损失了1000 – 400 = 600元
4）于是，A需要为每一次点击支付600 / 200 = 3元
但实际应用中，受损者的社会总效用损失难于计算，故VCG竞价机制几乎没有谁真的来使用。但这提供了一个很好的思路，创造了一个“鼓励说真话”的机制，使得全局达到最优解。