螺旋矩陣 非数组解法

本題要求將給定的n*n個正整數按遞增的順序，填入“螺旋矩陣”。所謂“螺旋矩陣”，是指從左上角第1個格子開始，按順時針螺旋方向填充數字，數字從1開始直到n*n。要求矩陣的規模為n行n列。【不允許使用數組】

輸入格式：

輸入在第1行中給出一個正整數n。

輸出格式：

輸出螺旋矩陣。每行n個數字，共n行。相鄰數字以空格分隔。

輸入樣例：
4
輸出樣例：
1   2   3   4
12 13 14  5
11 16 15  6
10 9   8   7 

============================ 

解法一 By 子木

解決步驟：

1. 矩陣劃分

　　1.1 整體劃分

　　1.2. 遞歸劃分

2. 解決外圍部分

3. 解決裡邊部分

 

 

1. 矩陣劃分

　　這一節希望將矩陣劃分出兩個部分，分別是容易解決的外圍部分，和可以遞歸解決的裡邊部分。

　　不能劃分、但可以簡單解決的n<=2的矩陣，將在第3步提及。

　　如果n>2，那麼可以將螺旋矩陣分成兩個部分，分別是最外面一圈“空心正方形框”和裡邊一坨“實心正方形” 。假定，只有一個數字的也算邊長為1的正方形。

　　示例如下：

　　1  1  1   　　　　　　　　    1  1  1  1　　　　　　　　　　1  1  1  1  1
　　1  2  1   　　　　　　　　    1  2  2  1　　　　　　　　　　1  2  2  2  1
　　1  1  1     　　　　　　　      1  2  2  1　　　　　　　　　　1  2  2  2  1　　　　　　　　
Fig.1 n=3, 分成兩個部分 　　      1  1  1  1 　　　　　　　　　   1  2  2  2  1　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　    Fig.2 n=4, 分成兩個部分  　　　　 1  1  1  1  1 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   Fig.3 n=5, 分成兩個部分

　　這裡有疑問：裡邊那個一定是正方形嗎？為什麼n需要大於2？

　　  　　裡邊的實心正方形部分，是在原有的正方形基礎上取出外圍，實際上是將排和列都減去2。

  　　　　由於原本是正方形，所以排與列都減去2后，只要邊長（n）大於0，一定仍然為正方形。　

　　  　　因此，邊長（n）大於2是為了讓原本正方形能分成兩個部分，並且保證了裡邊的部分仍為正方形。

　　下面我們介紹怎樣將一個矩陣分為外圍部分和裡邊部分。

 

   1.1 整體劃分

　　當我們想要打印第i行第j列的數字時，怎麼知道這個數字是屬於外圍部分（空心正方形框）還是裡邊部分（實心正方形）呢？

　　先定義一個操作“鏡像反轉”：

　　　　鏡像反轉，指的是對一個數字序列1, 2, 3, ..., a-1, a，將其變成1, 2, 3, ..., 2, 1

　　　　舉個例子，12 34 變成 12 21；12 3 45 變成 12 3 21；123 456 變成 123 321.

　　　　對每個數字i, 通項公式是t=a-i+1

　　接著定義一個操作"12鏡像反轉"：

　　　　12鏡像反轉，指的是將鏡像反轉之後的序列中，大於2的數字全部變成2.

　　　　舉個例子，12 34 變成 12 21；12 3 45 變成 12 2 21；123 456 變成 122 221.

　　　　對每個數字i, 通項公式是t=min{a-i+1, 2}

　　如果我們將i“12鏡像反轉”成k ，將j“12鏡像反轉”成t。通過觀察，我們發現，取k和t中比較小的一個，如果是1，這個數字屬於外圍部分；如果是2，這個數字屬於裡邊部分。

对i（行）：      1  1  1  1      镜像后k：1  1  1  1  
                         2  2  2  2                      2  2  2  2
                         3  3  3  3                      2  2  2  2
                         4  4  4  4                      1  1  1  1
                            
对j（列）：      1  2  3  4      镜像后t：1  2  2  1
                         1  2  3  4                     1  2  2  1
                         1  2  3  4                     1  2  2  1
                         1  2  3  4                     1  2  2  1　　

k和t中較小一個（記為n）：

                         1  1  1  1
                         1  2  2  1
                         1  2  2  1
                         1  1  1  1　

 

　1.2. 遞歸劃分

　　如果n>4，我們發覺裡邊一坨“實心正方形”又可以繼續拆成外面一圈“空心正方形框”和裡邊一坨“實心正方形”。

　　直到變成步驟2中Fig.1或Fig.2為止。

　　　　1  1  1  1  1　　　　
　　　　1  2  2  2  1　　　　2  2  2            1  1  1
　　　　1  2  2  2  1　=>      2  2  2   =>     1  2  1 　　　　　　　　
　　　　1  2  2  2  1　　　   2  2  2  　　　1  1  1 　　　　　　　　　　
　　　　1  1  1  1  1 

 　　　　　　　　Fig.4 n=5, 不斷分兩個部分

　　實際上這個問題變成解決外圍部分和裡邊部分的問題。而裡邊部分是可以又分成解決其外圍部分和裡邊部分的子問題。

　　裡邊部分不斷剝離外圍，最終會變成Fig.1或Fig.2的簡單問題。

　　因此我們下面要做的是：1）解決外圍部分；2）【子問題】解決裡邊部分>>>[本質]解決Fig.1或Fig.2的裡邊部分。

 

2. 解決外圍部分

　　實際上是一個順時針矩陣，分成上下左右四個部分解決：

上：extra=j-n+1;

下：extra=(2*an-1)+(an- ( j-(n-1) )  );

左：extra=(n-1)+an-i+3*an-2; 
右：extra=an+(i-(n-1)-1); 
i，j是排數和列數。an是外圍正方形的邊長；
n是12鏡像反轉的結果，外圍和裡邊的標記；extra是這個外圍位置的數值。

　　這裡解決了沒有外圍的外圍部分的情形。有外圍的外圍部分，我們稱之為裡邊，并在下一步解決。

 

3. 解決裡邊部分

　　如果將裡邊部分不斷劃分出外圍，我們知道，最後會到達Fig.1或Fig.2的情況。

　　也就是說大部分複雜的裡邊部分，說到底就是很多圈外圍來圍著核心，核心是n小於等於2的螺旋矩陣。示例如下：

　　1        　　  1  2 
　　　　　　　 4  3

 　  可以看到，這兩個小螺旋矩陣，也還是一個簡單的順時針矩陣，又可以看做外圍來解。

　　外圍的數值我們在第2步已經可以計算了。所謂裡邊部分，實際上就是一堆外圍。

　　這裡用遞歸函數around來計算這個位置到底有多少外圍數字，再加上它自身這個的外圍應顯示的數（稱為額外數），得到這個位置的最終數值unit。

　　unit=around(n-1,a,all)+extra;//数值为外圍數字個數加额外数

 

 

 代碼如下

#include <iostream>
using namespace std;
int around(int, int, int);
int main()
{
    int n,m,an,a,all,i,j,t,k,center,unit,extra;//an为所在正方形边长，all为正方形总个数
    cout<<"Enter the size:";
    cin>>m;
    a=m ;//求出a为最大正方形（n=1）边长
    if(a%2==0)
        all=a/2;//奇数和偶数会使正方形个数发生变化
    else
        all=a/2+1;
    for(i=1;i<=a;i++)
    { 
        if (i<=a/2)
            t=i;//若i超过中间线，使t为i镜像对称
        else
            t=a-i+1;
        for(j=1;j<=a;j++)
        {
            if (j<=a/2)
                k=j;//同理，使k为j镜像对称
            else
                k=a-j+1;      
            if(k<=t)
                n=k;//k和j间较小一个决定了所在正方形n
            else
                n=t;
            if(a%2==0) //奇偶数不一样
            {
                an=2*(all-n+1);//第n个正方形边长
                center=a/2;//求中间线
            }
            else
            {  
                an=2*(all-n+1)-1;
                center=a/2+1;
            }      
            if(i==n) //在顶边
                extra=j-n+1;
            else if(i<(n-1)+an) //在两边
            {
                if(j<=center) //在左边
                    extra=(n-1)+an-i+3*an-2;
                else          //在右边
                    extra=an+(i-(n-1)-1);
                
            }
            else   //在底边
                extra=(2*an-1)+(an- ( j-(n-1) )  );
            unit=around(n-1,a,all)+extra;//数值为外圍數字個數加额外数
            cout<<unit<<"\t";
            
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

int around(int n,int a,int all)//递归不斷分解出外围數字個數
{
    int an;
    if(a%2==0)
        an=2*(all-n+1);  //求边长
    else
        an=2*(all-n+1)-1;
    if(n==0)
        return 0;
    else
        return around(n-1,a,all)+4*an-4;//由边长求周长
}

 

=====================================

解法2 by燦杰

想法：

用第i行，第j列，i,j作为变量，用一道公式算出坐标为（i,j）的数。

 

做法：

先将矩阵通过对称折叠成左上角的四分之一大小矩阵，

在同一个正方形圈的数与在四分之一矩阵内的圈内的数坐标重叠，折叠后的数的坐标用（ii，jj）表示；

可找到，ii,jj中小的那个数就是该数所在的圈，然后可由n和圈数算出小于该圈所有数的最大的整数，这里我称之为基数；

然后将该数所在圈移动至左上角，方便计算该数在圈内的位置，得到新坐标（i1,j1）

由新坐标的i1,j1参与判断，选用公式计算该数在圈内所在位置，其实形象上看是一个将圈拉成直线的过程。

然后基数+位数，得出该数大小。

 

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
　　int n,i,j,ii,jj,k,i1,j1;
　　cout<<"请输入n:"<<endl;
　　cin>>n;
　　for(i=1;i<=n;i++)//i表示第i行,j表示第j列,逐行逐个数字输出
　　{
　　　　for(j=1;j<=n;j++)
　　　　{
　　　　　　if(i>n/2) //将矩阵折叠成四分之一
　　　　　　　　ii=n-i+1;//ii,jj分别表示在四分之一矩阵中的第几行,第几列
　　　　　　else
　　　　　　　　ii=i;
　　　　　　if(j>n/2)
　　　　　　　　jj=n-j+1;
　　　　　　else
　　　　　　　　jj=j;
　　　　　　if(ii>jj)//求出从外内,该数在第几个圈,并在此用ii表示第几圈
　　　　　　　　ii=jj;
　　　　　　　　i1=i-ii+1;//将该数所在的圈移动至左上角,然后用i1,j1表示该数的新坐标
　　　　　　　　j1=j-ii+1;
　　　　　　if(i>j)//将圈拉直,计算该数为该圈的第几个数
　　　　　　　　k=4*n-8*ii+7-i1-j1;
　　　　　　else
　　　　　　　　k=i1+j1-1;
　　　　　　　　cout<<n*n-(n-2*ii+2)*(n-2*ii+2)+k<<'\t';//该圈的基数加上该数在该圈的位置,输出该数
　　　　}
　　　　cout<<endl;//换行
　　}
}

 

=====================================

解法3 by朱鵬

分為左右兩個部分來解。

#include <iostream>
using namespace std;
void show(int,int,int,int,int);
int main()
{
 int n,i,a,j=0;
 int b=0;
 cout<<"输入你想构建的N:"<<endl;
 cin>>n;
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
  if(i<=n/2)
  {
   show(i,i,n,b,j);
  }
  else
  {
   a=n-i+1;
   show(i,a,n,b,j);
  }
   cout<<endl;
 }
}
void show(int k,int g,int n,int b,int j)
{
 int i,d=n;
 if(j>0)
 {
   k--;g--;
  
  b+=4*n-4;
  n=n-2;
 }
 if(g>1)
 {
  cout<<"   "<<b+(4*n-4-k+2);
  j++;
  show(k,g,n,b,j);
  cout<<"   "<<b+n+k-1;
 }
 else 
 {
  if(k!=n)
  {
   for(i=b+1;i<=b+n;i++)
    cout<<"   "<<i;
  }
  else
  {
   int c=b+(4*n-4-n+2),l=b+2*n-1;
   for(i=c;i>=l;i--)
    cout<<"   "<<i;
  }
 }

 

=====================================

解法四 by禮權

禮權的代碼沒有發出來……

如果沒記錯的話，大概是把正方形分成3部分來解

1  1  1  1  1

2  1  1  1  3

2  2  1  3  3

2  1  1  1  3

1  1  1  1  1

 

=====================================

TA课上提及，对自己以前的博文整理，提高可读性。原文鏈接：

http://user.qzone.qq.com/312677150/blog/1289724415