洛谷 P2725 邮票题解

题目背景

给一组 N 枚邮票的面值集合（如，{1 分，3 分}）和一个上限 K —— 表示信封上能够贴 K 张邮票。计算从 1 到 M 的最大连续可贴出的邮资。

题目描述

例如，假设有 1 分和 3 分的邮票；你最多可以贴 5 张邮票。很容易贴出 1 到 5 分的邮资（用 1 分邮票贴就行了），接下来的邮资也不难：

6 = 3 + 3 
7 = 3 + 3 + 1 
8 = 3 + 3 + 1 + 1 
9 = 3 + 3 + 3 
10 = 3 + 3 + 3 + 1 
11 = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 
12 = 3 + 3 + 3 + 3 
13 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1

然而，使用 5 枚 1 分或者 3 分的邮票根本不可能贴出 14 分的邮资。因此，对于这两种邮票的集合和上限 K=5，答案是 M=13。 [规模最大的一个点的时限是3s]

小提示:因为14贴不出来,所以最高上限是13而不是15

输入格式

第 1 行： 两个整数，K 和 N。K（1 <= K <= 200）是可用的邮票总数。N（1 <= N <= 50）是邮票面值的数量。

第 2 行 .. 文件末： N 个整数，每行 15 个，列出所有的 N 个邮票的面值，每张邮票的面值不超过 10000。

输出格式

第 1 行：一个整数，从 1 分开始连续的可用集合中不多于 K 张邮票贴出的邮资数。

输入输出样例

输入 #1复制

5 2
1 3

输出 #1复制

13

说明/提示

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 3.1

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题解

这题虽然也是完全背包问题，但是比总分那题难想。直接选择题目所求作为f[i]是不行的。f[i]为要达成i面值所需要的最少邮票个数。这样状态转移方程就是：f[j] = min( f[j], f[j - a] + 1 );，也就是如果选择面值为a可以减少张数就选择a，否则不选a。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

const int    MAXN = 2000005;
int        a, n, k, f[MAXN];

int main()
{
    cin >> k >> n;
    for ( int i = 0; i < MAXN; i++ )
    {
        f[i] = 1111111;
    }
    f[0] = 0;
    for ( int i = 1; i <= n; i++ )
    {
        cin >> a;
        for ( int j = a; j <= MAXN; j++ )
        {
            if ( f[j - a] + 1 <= k ) /* 用的邮票数目在范围内 */
            {
                f[j] = min( f[j], f[j - a] + 1 );
            }
        }
    }
    for ( int i = 1; i < MAXN; i++ )
    {
        if ( f[i] == 1111111 )
        {
            cout << i - 1 << endl;
            break;
        }
    }
    return(0);
}