Stability and Attractors

设微分方程

\begin{equation}
\frac{dx}{dt}=f(t,x),\quad x(t_{0})=x_{0},\quad x_{0}\in\mathbb{R}^{n}\label{eq:2}
\end{equation}
存在唯一的解$\,x(t)=x(t;t_{0},x_{0}),$ 其存在区间为$\,(-\infty,+\infty).$ 如果$\,f(t,x)$
满足
\[
f(t,0)=0,
\]
就称$\,x(t)\equiv0$ 是$\,($\ref{eq:2}$)$ 的$\mathbf{\text{零解}};$
如果存在$\,x^{*}\in\mathbb{R}^{n}$ 使得
\[
f(t,x^{*})=0,
\]
就称$\,x(t)\equiv x^{*}$ 是$\,($\ref{eq:2}$)$ 的$\mathbf{\text{常数解}}$$\,($或$\mathbf{\text{平衡解}}$或$\mathbf{\text{稳态解}}$$);$
明显零解也是常数解$.$

$\mathbf{\text{定义}\,}\mathbf{1}.$ 如果对任意给定的$\,\varepsilon>0,$ 都能找到$\,\delta=\delta(\varepsilon,t_{0}),$
使得当$\,\left\Vert x_{0}-0\right\Vert <\delta$ 时$\,($\ref{eq:2}$)$
的解$\,x(t;t_{0},x_{0})$ 满足
\[
\left\Vert x(t;t_{0},x_{0})-0\right\Vert <\varepsilon,\quad t\geqslant t_{0},
\]
则称$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解是$\mathbf{\text{稳定}}$的$,$ 否则称$\,($\ref{eq:2}$)$
的零解是$\mathbf{\text{不稳定}}$的$.$

$\mathbf{\text{定义}\,}\mathbf{2}.$ 设$\,U$ 是$\,\mathbb{R}^{n}$
中包含原点的一个开区域$.$ 若对所有的$\,x_{0}\in U$ 和任意的$\,\varepsilon>0,$ 总能找到一个$\,T=T(\varepsilon,t_{0},x_{0}),$
使得当$\,t>t_{0}+T$ 时$,$ 有
\[
\left\Vert x(t;t_{0},x_{0})-0\right\Vert <\varepsilon
\]
成立$,$ 我们就称$\,U$ 是$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解的一个$\mathbf{\text{吸引域}},$
并称$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解是$\mathbf{\text{吸引}}$的$,$ 或称零解是一个$\mathbf{\text{吸引子}}.$

$U$ 是$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解的一个吸引域$,$ 更简单的说法就是$,$ 对所有的$\,x_{0}\in U,$
都有
\[
x(t;t_{0},x_{0})\rightarrow0\quad(t\rightarrow+\infty).
\]

$\mathbf{\text{定义}\,}\mathbf{3}.$ 若$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解是稳定的$,$
又是吸引的$,$ 则称$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解是$\mathbf{\text{渐近稳定的}};$
若$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解的吸引域是整个$\,\mathbb{R}^{n},$ 则称$\,($\ref{eq:2}$)$
的零解是$\mathbf{\text{全局渐近稳定的}},$ 并称该零解是$\mathbf{\text{全局吸引子}.}$

$\mathbf{\text{附注:}}$ 在以上定义中$,$ 把$\,($\ref{eq:2}$)$ 的零解$\,x(t)\equiv0$
替换成其他常数解$\,x(t)\equiv x^{*}$ 就得到相应非零常数解的稳定性和吸引子的概念$.$