CF527E Data Center Drama

搬运一下前几天发在Luogu的、、

题意：给出一个无向简单图，然后你自己再加一点边，然后你给他们定向，要使得每个点的出度和入度都是偶数。输出加的边最少的任意方案。

先提出一种构造方案。

• 我们发现：对于一个有偶数条边、有欧拉路径的图，以 \(a\rightarrow b\leftarrow c\rightarrow d\leftarrow ...\rightarrow a\) 的方式定向，可以使得每个点的出度和入度都是偶数。（因为每次访问一个点都会使得它的入度/出度 +2）。
• 对于一个奇数条边的有欧拉路径的图，随便在某个点加个自环，就变成了一个偶数条边的图。
• 把原图加成一个有欧拉路径的图：考虑一个图只可能有偶数个奇点，那么把奇点配对相连即可。

梳理一下，就是我们先把奇点配对相连，然后如果有奇数条边就在随便哪个节点加个自环。然后找一条欧拉路径就行了。

正确性：

• 定向前答案的图一定是一个有欧拉路径的图，否则它存在点度数不是奇数，定向后也不可能入度+出度是偶数。如果原图不是那必须得加边。显然你加的边数已经是最少的了
• 一个奇数条边的图，定向后不可能所有点都入度+出度是偶数，所以必须加边，那就加一条自环，也是最少的。