咕了的构造题单总结

没写完，就被不小心关机了

https://vjudge.net/contest/446131

[ARC103] Robot Arms

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现在你有 \(n\) 个点，然后让你构造一个长度为 \(m\) 的序列，序列中 \(d_i\) 是每一次移动的距离，输出这个序列，

你对每个点对 \((x_i,y_i)\) 每一次从原点出发执行 \(m\) 次操作,对于每一个指令你可以上下左右任选一个方向走 \(d_i\) 长度,执行完命令后恰好落到 \((x_i, y_i)\),

输出对于每一点对的操作方式\((‘U’,‘D’,‘L’,‘R’)\)

无解输出-1。

• \(1\le n\le 1000, -10^9\le x_i \le 10 ^9, -10^9 \le y_i \le 10^9\)
• \(1\le m \le 40, 1\le d_i\le 10^9\)
• 均为整数

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\(d_i\) 满足 \((x_i, y_i) = (\sum_{i\in R} d_i - \sum_{i \in L} d_i,\sum_{i\in U} d_i - \sum_{i \in D} d_i)\)

\(x_i + y_i = \sum_{i\in R | i \in U} d_i - \sum_{i \in L | i \in D} d_i\)

\(x_i + y_i\) 与 \(\sum d_i\) 奇偶性相同。

由此可以确定 \(\sum d_i\) 奇偶性。

有解情况必然所有 \(x_i+y_i\) 奇偶性相同。否则无解。

\(\log_2 10^9\le 30\)

能用集合 \(d = {1,2,4,8,...,2^k}\) 走到任何满足 \(|x|+|y| \le 2^{k+1}-1\) 且 \(x+y\) 为奇数的点的 \((x, y)\)，可递推证明

\(k = 0, k = 1\) 时显然成立，之后递推。

但 \(x+y\) 可能为偶数，此时增加一个\(d_1 = 1\) 即可。

输出方案：

如果 \(x+y\) 为偶数，就先随便乱走一步。\((d_1)\)

转化为 \(x+y\) 为奇数后，

\(k = 2\) 时，

\(P1(2, -5)->K(2, -1)->C(0,-1)->O(0,0)\)

\(N(-2,-1)->K(2, -1)->C(0,-1)->O(0,0)\)

分别使用了\(2^2,2^1,2^0\)，每次都对绝对值较大的下手，使得其逼近0。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define make_pair mkp
#define push_back pb
const int N = 1010;
int n, d[35], x[N], y[N], cnt;
void solve(int a, int b){
	for(int i = 1; i <= cnt; i++){
		if(abs(a) > abs(b)){
			int op = a / abs(a);
			if(op == 1) printf("R"), a -= d[i];
			else printf("L"), a += d[i];
		} else {
			int op = b / abs(b);
			if(op == 1) printf("U"), b -= d[i];
			else printf("D"), b += d[i];
		}
	}
	puts("");
	return;
}
int main(){
	scanf("%d", &n);
	int s = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d%d", &x[i], &y[i]), s += ((x[i] + y[i]) % 2 + 2) % 2;
	if(s != 0 && s != n) return puts("-1"), 0;
	if(s == 0) d[++cnt] = 1;
	for(int i = 30; i >= 0; i--)
		d[++cnt] = (1 << i);
	printf("%d\n", cnt);
	for(int i = 1; i <= cnt; i++)
		printf("%d ", d[i]);
	puts("");
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		solve(x[i], y[i]);
	return 0;
}