具体数学 第三章 整值函数

\(\huge 3\) 整值函数

3.1 底和顶

定义

1. \(\lfloor x\rfloor =\)小于或等于 \(x\) 的最大整数，\(\lceil x\rceil =\)大于或等于 \(x\) 的最小整数

2. \(x=\lfloor x\rfloor +\{x\}\)，称 \(\lfloor x\rfloor\) 为 \(x\) 的整数部分，\(\{x\}\) 为 \(x\) 的分数部分。

性质

1. \[x-1<\lfloor x\rfloor\le x\le \lceil x\rceil<x+1 \]

2. \[\lfloor x\rfloor=x\Leftrightarrow x是整数 \Leftrightarrow \lceil x \rceil =x \]

3. \[\lceil x \rceil -\lfloor x \rfloor =[x\text{不是整数}] \]

4. \[\lfloor -x\rfloor=-\lceil x\rceil;-\lceil -x\rceil=-\lfloor x\rfloor \]

5. \[\begin{cases} \lfloor x\rfloor=n \Leftrightarrow n\le x<n+1, & (a)\\ \lfloor x\rfloor=n \Leftrightarrow x-1< n\le x, & (b)\\ \lceil x\rceil=n \Leftrightarrow n-1< x\le n, & (c)\\ \lceil x\rceil=n \Leftrightarrow x\le n<x+1. & (d)\\ \end{cases} \]

6. \[\lfloor x+n \rfloor =\lfloor x \rfloor +n \]

7. \[\begin{cases} x<n\Leftrightarrow \lfloor x\rfloor <n , & (a)\\ n<x\Leftrightarrow n<\lceil x\rceil , & (b)\\ x\le n\Leftrightarrow \lfloor x\rfloor \le n , & (c)\\ n\le x\Leftrightarrow n\le \lceil x\rceil , & (d)\\ \end{cases} \]

8. \[\lfloor x+y\rfloor = \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor 或 \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor+1 \]

3.2 底和顶的应用

1. \(f(x)\) 是在实数区间上连续的单调递增函数，满足 \(f(x)=\)整数\(\Rightarrow x=\)整数，

   \[\lfloor f(x)\rfloor=\lfloor f(\lfloor x\rfloor)\rfloor ;\lceil f(x)\rceil=\lceil f(\lceil x\rceil ) \rceil \]

   特例：

   \[\lfloor \frac {x+m} n \rfloor =\lfloor \frac {\lfloor x\rfloor +m} n \rfloor;\lceil \frac {x+m} n \rceil =\lceil \frac {\lceil x\rceil +m} n \rceil \]

   应用：\(\lfloor x/1000\rfloor=\lfloor \lfloor \lfloor x/10\rfloor/10\rfloor/10\rfloor\)

2. \[a \le n<b\Leftrightarrow \lceil a\rceil \le n<\lceil b\rceil\\ a < n\le b\Leftrightarrow \lfloor a\rfloor < n\le \lfloor b\rfloor \]

3. 谱 ：实数 $\alpha $ 的谱是整数组成的一个无限多重集合（元素可重复）：

   \[Spec(\alpha)=\{\lfloor \alpha \rfloor,\lfloor 2\alpha \rfloor,\lfloor 3\alpha \rfloor,...\} \]

   • 没有两个谱是相等的。即 \(\alpha \neq \beta \Leftrightarrow Spec(\alpha)\neq Spec(\beta)\)

   • \(Spec(\sqrt 2)\) 和 \(Spec(2+\sqrt 2)\) 的并集是 \(N^{+}\)

3.3 底与顶的递归式

应用于一些类似于 \(f(n)=f(\lfloor \frac n2 \rfloor)+f(\lceil \frac n 2\rceil)\) 的递归式

1. trick: \(n=\lfloor \frac n2 \rfloor+\lceil \frac n 2\rceil\)

2. trick: \(g(i)=n-f(i)\) 可能发现优美形式

3. \[{D_0}^{(q)}=1;\\ {D_n}^{(q)}=\lceil \frac q {q-1}{D_{n-1}}^{(q)}\rceil,n>0 \]

   约瑟夫问题幸存者 \(J_q(n)=qn+1-{D_k}^{q}\) \(k\) 是使得 \({D_k}^{q}>(q-1)n\) 的尽可能小的数。

3.4 mod：二元运算

定义

• 基本公式

\[n=m\lfloor n/m\rfloor +n \bmod m \]

• 推广：

\[x \bmod y=x-y\lfloor x/y\rfloor ,y\neq 0 \]

• $\color {red} warning: $ 计算机语言的定义与这里不同。

  \[\]

5 \bmod 3=5-3\lfloor 5/3\rfloor & =2\
5 \bmod -3=5-(-3)\lfloor 5/(-3)\rfloor&=-1\
-5 \bmod 3=-5-3\lfloor -5/3\rfloor&=1\
-5 \bmod -3=-5-(-3)\lfloor -5/(-3)\rfloor&=-2
\end {cases}
$$

• \(mod\) 后的数称为模。

  \[\]

0\ge x\bmod y>y, y<0
$$

• 定义 \(x\bmod 0=x\)

• \(x \bmod 1=\{x\}\)

• \[x\ mumble\ y=y\lceil x/y\rceil-x,y\neq0 \]

性质

• 分配律： \(c(x\bmod y)=(cx) \bmod (cy)\)

• \(n\) 为整数时，

  \[n=\lceil \frac n m \rceil+\lceil \frac {n-1} m \rceil+...+\lceil \frac {n-m+1} m \rceil\\ n=\lfloor \frac n m \rfloor+\lfloor \frac {n+1} m \rfloor+...+\lfloor \frac {n+m-1} m \rfloor \]

  \(x\) 为实数时，

  \[\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor+\lfloor x+\frac 1 m\rfloor+...+\lfloor x+\frac {m-1} m\rfloor \]

3.5 底和顶的和式

1. 对所有无理数 $\alpha $ 以及所有几乎处处连续的有界函数 \(f\) 有

   \[\lim_{n\rightarrow \infty} {{\frac 1 n} \sum_{0\le k <n} f(\{k\alpha \}) }=\int _0^1 f(x) \ dx \]

2. \[\sum_{0\le k<m} \lfloor \frac {nk+x} m\rfloor=d\lfloor\frac x d\rfloor+\frac {(m-1)(n-1)} 2+\frac {d-1} 2\\ \sum_{0\le k<m} \lfloor \frac {nk+x} m\rfloor=\sum_{0\le k<m} \lfloor \frac {mk+x} n\rfloor \]

习题

热身题

1

\(m=\lfloor \lg n \rfloor,l=n-2^{\lfloor \lg n \rfloor}\)

2

(a) \(\lfloor x+0.5\rfloor\)

(b) \(\lceil x-0.5\rceil\)

3

\(m,n\in N^+\),\(\alpha\) 是大于 \(n\) 的无理数时，计算 \(\lfloor \lfloor m\alpha \rfloor n/\alpha\rfloor\)

\[\begin{aligned} \lfloor \lfloor m\alpha \rfloor n/\alpha\rfloor&=\lfloor mn-\{m\alpha\}n/\alpha\rfloor\\ &=mn-\lceil \{m\alpha\}n/\alpha\rceil\\ &=mn-1\\ \end{aligned} \]

4

水平0：给定一个显式对象 \(x\) 和一个显式对象 \(P(x)\) 猜测 \(P(x)\) 是否为真。

5

当 \(n\) 是正整数时，求使得\(\lfloor nx\rfloor=n\lfloor x\rfloor\) 成立的充分必要条件。

\[\lfloor nx\rfloor =n\lfloor x\rfloor\\ nx-\{nx\}=nx-n\{x\}\\ \{nx\}=n\{x\}\\ \]

\(\{x\}<1/n\) 是 \(\lfloor nx\rfloor=n\lfloor x\rfloor\) 的必要条件。

下证 是 \(\{x\}<1/n\) 是 \(\lfloor nx\rfloor=n\lfloor x\rfloor\) 的充分条件。

\[n\{x\}<1\Rightarrow \{nx\}=n\{x\}\Rightarrow nx-\{nx\}=nx-n\{x\}\Rightarrow\lfloor nx\rfloor =n\lfloor x\rfloor \]

*严谨的答案做法：

$\lfloor nx\rfloor=\lfloor n\lfloor x\rfloor+n{x}\rfloor=n\lfloor x\rfloor+\lfloor n{x}\rfloor $

\(\lfloor n\{x\}\rfloor =0\)

\(0\le \lfloor n\{x\}\rfloor<1\)

\(\{x\}<1/n\)

下证 是 \(\{x\}<1/n\) 是 \(\lfloor nx\rfloor=n\lfloor x\rfloor\) 的充分条件。

\(0\le\lfloor n\{x\}\rfloor<1\)

\(\lfloor n\{x\}\rfloor =0\)

\(n\lfloor x\rfloor+\lfloor n\{x\}\rfloor =n\lfloor x\rfloor\)

$\lfloor nx\rfloor=n\lfloor x\rfloor $

6

\(f(x)\) 是仅当 \(x\) 为整数时才取整数值的连续单调递减函数时，关于 \(f(x)\) 有什么可谈的吗？

不妨 \(f(x)=-x\)

\(\lfloor f(x)\rfloor = \lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil\)

\(f(\lfloor x\rfloor)=-\lfloor x\rfloor=\lceil -x\rceil\)

\(\lceil f(x)\rceil = \lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor\)

\(f(\lceil x\rceil ) = -\lceil x\rceil =\lceil -x\rceil\)

猜测 $ \lceil f(x)\rceil=\lceil f(\lfloor x\rfloor)\rceil$

证：

\(x\le \lceil x\rceil\)

\(f(x)\ge f(\lceil x\rceil)\)

\(\lfloor f(x)\rfloor\ge \lfloor f(\lceil x\rceil )\rfloor\)

若 \(\lfloor f(x)\rfloor> \lfloor f(\lceil x\rceil )\rfloor\)

那么一定存在

\(x\le y<\lceil x\rceil\) 且$f(y)=\lfloor f(x )\rfloor $

\(y\) 为整数。

但不可能有整数严格位于 $\lfloor x\rfloor $ 和 $\lceil x\rceil $ 之间，因此 \(\lfloor f(x)\rfloor=\lfloor f(\lceil x\rceil )\rfloor\)

同理可证另一条。

7

解递归式

\[\begin{aligned} X_n&=n\ (0\le n<m)\\ X_n&=X_{n-m}+1\ (n\ge m) \end{aligned} \]

0,1,2,3,...,m-1,

0,1,2,3,...,m-1,

m,m+1,...,2m-1

1, 2, ...,m,

2m,2m+1,...,3m-1

2, 3, ...,m+1

\(X_n=n\bmod m+\lfloor \frac n m\rfloor\ (n\ge m)\)

随便瞎几把乱证就好了懒得写。

8

证明狄利克雷抽屉原理：如果 \(n\) 个物体放进 \(m\) 个盒子中，那么某个盒子中必定含有 \(\ge \lceil n/m\rceil\) 个物体，且有某个盒子中必定含有 \(\le \lfloor n/m\rfloor\) 物品。

(1)

如果所有盒子都有 \(< \lceil n/m\rceil\) 个物体。

都有 $\le \lceil n/m\rceil-1 $ 个物体。

希望能符合要求

\(n \le m(\lceil n/m\rceil-1)\)

\(n/m +1\le \lceil n/m\rceil\)

恒不成立

(2)

如果所有盒子都有 \(> \lfloor n/m\rfloor\) 个物体。

都有 \(\ge \lfloor n/m\rfloor +1\) 个

\(n/m>\lfloor n/m\rfloor +1\)

$n/m-1>\lfloor n/m\rfloor $

恒不成立。

9

证明，总可以用一种系统化的方法来这样做：

如果 \(0<m/n<1\) ，那么

\[\frac m n =\frac 1 q+\{\frac m n -\frac 1 q 的表示\},q=\lceil \frac n m\rceil \]

（斐波那契算法）

令 \(n=m(q-1)+r\)

\(r=0\) 时，结束算法。

\(r>0\) 时，

\[\frac m n=\frac 1 q+\frac {m-r} {nq} \]

\(m\) 每次至少减少 \(1\) ，直到 \(m=0\)

基础题

10

证明，表达式

\[\lceil \frac {2x+1} 2 \rceil -\lceil \frac {2x+1} 4 \rceil +\lfloor \frac {2x+1} 4 \rfloor \]

总是等于 $\lfloor x\rfloor $ 或 \(\lceil x \rceil\)

每种情况在何时会出现？

\(\lceil \frac {2x+1} 2 \rceil=\lceil x+\frac 1 2 \rceil\)

\(-\lceil \frac {2x+1} 4 \rceil=-\lceil \frac x 2 +\frac 1 4\rceil=\lfloor -\frac x 2-\frac 1 4\rfloor\),\(\lfloor \frac {2x+1} 4 \rfloor=\lfloor \frac x 2+\frac 1 4 \rfloor\)

\(\lfloor \frac x 2+\frac 1 4 \rfloor-\lceil \frac x 2 +\frac 1 4\rceil=-[\frac x 2 +\frac 1 4不是整数]\)

• \(\frac x 2+\frac 1 4\) 是整数

  \(\frac {2x+1} 4\) 是整数 \(2x \mod 4 =3\)

  \(x\) 无解

• \(\frac x 2+\frac 1 4\) 不是整数

  \(\lceil \frac {2x+1} 2 \rceil=\lceil x+\frac 1 2 \rceil\)

  \(\{x\}\le\frac 1 2\) 时，原式 \(=\lceil x+\frac 1 2 \rceil-1=\lfloor x\rfloor +1-1=\lfloor x\rfloor\)

  \(\{x\}>\frac 1 2\) 时，原式 \(=\lceil x+\frac 1 2 \rceil-1=\lceil x\rceil +1-1=\lceil x\rceil\)

11

当 \(\alpha=\beta\) 时，开区间包含 0 个整数。

\(\alpha=\beta\) 且 \(\{\alpha\}=0\) 时，公式计算结果为 \(-1\) ，显然不会包含 \(-1\) 个整数。

12

证明：对于所有整数 \(n\) 和所有正整数 \(m\) 有

\[\lceil \frac n m \rceil=\lceil \frac {n+m-1} m\rceil \]

（这个恒等式给出了一种顶与底相互转化的方法）

证：

\[\lceil \frac {n+m-1} m\rceil=\lceil \frac {n-1} m\rceil+1 \]

令 \(q=\lceil\frac n m\rceil,n=m(q-1)+r\) 则 \(r\in [1,m]\)

\(\lceil \frac {n-1} m\rceil+1=q-1+1=q=\lfloor \frac n m \rfloor\)

13

设 \(\alpha,\beta\) 时正实数，证明： \(Spec(\alpha)\) 和 \(Spec(\beta)\) 给出了正整数的划分，当且仅当 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是无理数且 \(1/\alpha +1/\beta=1\).

无理数：显然 否则 \(\beta \alpha=\alpha \beta\) 会重复

\(1/\alpha +1/\beta=1\) 时满足要求，见之前书中证明。

讨论

\[\lfloor \frac {n+1} \alpha \rfloor+\lfloor \frac {n+1} \beta \rfloor=n \]

在 \(1/\alpha +1/\beta\neq1\) 时是否满足要求。

即

\[\frac {n+1} \alpha -\{\frac {n+1} \alpha \}+\frac {n+1} \beta -\{\frac {n+1} \beta \}=n \]

在 \(1/\alpha +1/\beta\neq1\) 时是否满足要求。

\((n+1)(1/\alpha +1/\beta)-\{\frac {n+1} \alpha \}-\{\frac {n+1} \beta \}=n\)

不知道了。。

14

证明或推翻 \((x \bmod ny) \bmod y=x\bmod y,\ n\) 为整数。

正确，

n=0时显然。

否则，

令 \(x=ty+r\),\(t=\lfloor x/y\rfloor\),\(t=pn+q\),\(p=\lfloor \frac t n\rfloor\)

\(x\bmod y=r=x-t y\)

\(x\bmod ny=x-kny\)

\(k=\lfloor \frac x {ny}\rfloor=\lfloor \frac {\lfloor \frac x {y}\rfloor} n\rfloor=\lfloor\frac t n\rfloor\)

\(x\bmod ny=x-kny=x-pny\)

\((x-pny)\bmod y=(qy+r)\bmod y=r\)

证毕

15

存在与

\[\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor+\lfloor x+\frac 1 m\rfloor+...+\lfloor x+\frac {m-1} m\rfloor \]

类似的用顶替换底的恒等式吗？

\[n=\lceil \frac n m \rceil+\lceil \frac {n-1} m \rceil+...+\lceil \frac {n-m+1} m \rceil\\ \]

令 \(x=\frac n m\)

\[\lceil mx\rceil =\lceil x \rceil+\lceil x-\frac 1 m \rceil+...+\lceil x-\frac {m-1} m \rceil\\ \]

16

证明 \(n\bmod 2=(1-(-1)^n)/2\). 对 \(n \bmod 3\) 求出并证明类似的形如 \(a+b\omega^n+c\omega^{2n}\) 的表达式，其中 \(\omega=(-1+i\sqrt 3)/2\)

提示：\(\omega ^3=1\) 且 \(1+\omega+\omega^2=0\)

\[n=0,a+b+c=0\\ n=1,a+b\omega+c\omega^2=1\\ n=2,a+b\omega^2+c\omega=2 \]

\[\begin{cases} a=1\\ b=\frac {\omega-1} 3\\ c=-\frac {\omega+2} 3 \end{cases} \]

17

在 \(x\ge 0\) 的情形下，通过用 \(\sum_j [1\le j\le x+k/m]\) 替换 \(\lfloor x+k/m\rfloor\) 并首先对 \(k\) 求和，来计算和式 \(\sum_{0\le k<m} \lfloor x+k/m\rfloor\)

你的答案与 \(\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor+\lfloor x+\frac 1 m\rfloor+...+\lfloor x+\frac {m-1} m\rfloor\) 吻合吗？

\[\begin{aligned} 原式&=\sum_{0\le k<m} \sum_j [1\le j\le x+k/m]\\ &=\sum_{j,k} [0\le k<m][1\le j\le x+k/m]\\ &=\sum_{j,k} [0\le k<m][1\le j\le\lceil x \rceil ][k\ge m(j-x)]\\ &=\sum_{1\le j \le \lceil x\rceil} \sum_{k} [0\le k<m]-\sum_{j=\lceil x\rceil} \sum_k[0\le k<m(j-x)]\\ &=m\lceil x\rceil-\lceil m(\lceil x\rceil-x)\rceil\\ &=m\lceil x\rceil-\lceil m\lceil x\rceil-mx\rceil\\ &=m\lceil x\rceil-\lceil m\lceil x\rceil\rceil-\lceil -mx\rceil\\ &=m\lceil x\rceil-\lceil m\lceil x\rceil\rceil+\lfloor mx\rfloor\\ &=m\lceil x\rceil-m\lceil x\rceil+\lfloor mx\rfloor\\ &=\lfloor mx\rfloor \end{aligned} \]

18

被我吃了