Burnside和Polya

到现在都没有自己写过一道题。。只会看看。。

orz

等价关系

轨道稳定子定理

设 \(A\) 、 \(B\) 为有限集合， \(X=B^A\) 表示所有从 \(A\) 到 \(B\) 的映射。

\(G\) 是 \(A\) 上的置换群，\(|G|\) 是 \(G\) 中元素个数。

\(\forall x\in X,G^x=\{g|g(x)=x,g\in G\},G(x)=\{g(x)|g\in G\}\)

其中 \(G^x\) 称为 \(x\) 的稳定子，\(G(x)\) 称为 \(x\) 的轨道，则有

\[|G|=|G^x|· |G(x)| \]

Burnside​ 引理

\(X/G\) 表示 \(G\) 作用在 \(X\) 上产生的所有等价类的集合（若 \(X\) 中的两个映射经过 \(G\) 中的置换作用后相等，则它们在同一等价类中）。

\(X/G\) 其实就是对于所有 \(x\in X\) 不同轨道的集合。这些轨道必定是不交的。因此我们也将 \(|X/G|\) 叫做 \(X\) 关于 \(G\) 的轨道数。

\(X^g=\{x|x\in X,g(x)=x\}\) ，我们称 \(X^g\) 是 \(X\) 在置换 \(g\) 下的不动点集合。

则：

\[|X/G|=\frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} |X^g| \]

文字描述：\(X\) 关于置换群 \(G\) 的轨道数，等于 \(G\) 中每个置换下不不动点的个数的算术平均数。

举例

以给立方体染色为例，则柿子中的符号解释：

• \(A:\) 立方体6个面的集合
• $B: $ 3种颜色的集合
• $X: $ 直接给每个面染色（不考虑本质不同的方案）的集合，共有 \(3^6\) 种
• $G: $ 各种翻转操作构成的置换群
• $X/G: $ 本质不同的染色方案的集合
• \(X^g:\) 对于某种翻转操作 \(g\) ，所有直接染色的方案中，经过 \(g\) 这种翻转后保持不变的染色方案的集合。

\(G\) 中存在的置换：

• 不动 \(|X^g|=3^6\)

• 相对面中心连线为轴 \(90°\) 旋转。

  相对面 \(3\) 种，旋转方向 \(2\) 种，\(6\) 种置换，只有非选中相对面颜色都一样才能是的不变。对应了 \(|X^g|=3^3\)

• 相对面中心连线为轴 \(180°\) 旋转。

  相对面 \(3\) 种，\(3\) 和置换，只有非选中相对面的相对面颜色都一样才能是的不变。对应了 \(|X^g|=3^4\)

• 相对棱中心连线为轴 \(180°\) 旋转。

  \(6\) 种选择。

  \(|X^g|=3^3\)

• 相对顶点中心连线为轴 \(120°\) 旋转。

  相对顶点 \(4\) 种选择。旋转方向 \(2\) 种。

  \(8\) 种选择。

  \(|X^g|=3^2\)

因此所有本质不同方案数为

\[\frac 1 {1+6+3+6+8} (3^6+6\times 3^3 +3\times 3^4+6\times 3^3+8\times 3^2)=57 \]

证明

\[|X/G|\\ =\sum_{Y\in X/G} 1\\ =\sum_{Y\in X/G} \sum_{x\in Y} \frac 1 {|Y|}\\ =\sum_{Y\in X/G} \sum_{x\in Y} \frac 1 {|G(x)|}\\ =\sum_{x\in X} \frac 1 {|G(x)|}\\ 根据轨道稳定子定理，我们有 |G|=|G^x|·|G(x)| ，\\ =\frac 1 {|G|} \sum_{x\in X} \frac {|G|} {|G(x)|}\\ =\frac 1 {|G|} \sum_{x\in X} {G^x}\\ =\frac 1 {|G|} \{(x,g)|g(x)=x,(x,g)\in X\times G\}\\ =\frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} |X^g|\\ \]

Pólya​ 定理

是 \(Burnside\) 的特殊形式。

\[|x/G|=\frac 1 {|G|} \sum_{g\in G} |B|^{c(g)} \]

\(c(g)\) 表示 \(g\) 拆出的不相交轮换数量。

证明：

在 Burnside 引理中，\(g(x)=x\) 的充要条件是 \(x\) 将 \(g\) 中每个轮换内的元素都映射到了 \(B\) 中的同一个元素。所以 \(|X^g|=|B|^{c(g)}\) 。

只有 \(X=B^A\) 时，Pólya​才成立