简单数论
好像不太简单/ll
1.gcd&exgcd
1.gcd: 辗转相除。
int gcd(int x,int y){
if(y==0) return x;
return gcd(y,x%y);
}
2.exgcd:
裴蜀定理：对于任意正整数a，b，一定存在非零数对（x,y),满足ax+by=gcd(a,b).
\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)
设 \(x',y'\)是方程$ by'+ (a % b) x' =gcd(b,a%b)$ 的解
\(by'+ (a \% b) x' =gcd(a,b)\)
\(by'+ (a-b(a/b)) x' =gcd(a,b)\)
\(ax'+by'-b(a/b)x' =gcd(a,b)\)
\(ax'+b(y'-(a/b)x') =gcd(a,b)\)
\(x=x',y=y'-(a/b)x'\)
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d) {
if(b == 0) x = 1, y = 0, d = a;
else exgcd(b, a % b, y, x, d), y -= a / b * x;
return;
}
2.欧拉函数和欧拉定理
\(\phi(n)\) 表示小于等于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的数的个数。
\(\phi(n)=n\prod_{p|n} (1-\frac 1 p)\)
特别地，\(\phi(1)=1\).
感性理解一下。证明不会
在n以内所有与n互素的所有数之和为n*Φ(n)/2。
1.\(O(\sqrt n)\) 筛质因数求欧拉函数。
@[墨染空] 的代码
int phi = x;
for(int j = 2; j * j <= x; j++){
if(x % j == 0){
phi = phi / j * (j - 1);
while(x % j == 0) x /= j;
}
}
if(x > 1) phi = phi / x * (x - 1);
2.\(O(n)\) 线性筛出\(1-n\)的\(\phi (i)\)
由定义可知，\(\phi (p) =p-1\)
如果\(p|x,\phi (px)=p \phi(x)\)
否则,\(\phi (px)=(p-1) \phi(x)\)
证明不会
这份是我的代码
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]) p[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
vis[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){
phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
break;
}
phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
}
}
欧拉定理：当 \(gcd(a, n) = 1\)，\(a^{\phi (n)} \equiv 1 \bmod n\)
证明：
在 \(1\) 到 \(n\) 的数中有 \(\phi (n)\) 个数与 \(n\) 互质，设为 \(x_i\)
设 \(m_i=a\times x_i\)
下面证明两个性质
- \(\forall i, j\in [1,\phi (n)],m_i\not\equiv m_j \bmod n\)
反证：
- \(\forall i\in [1,\phi (n)], gcd(m_i \bmod n, n) = 1\)
可知集合 \(m\) 与 \(x\) 相同（无序）
扩展欧拉定理：
case 1：
由欧拉定理显然
case 2：
无需证明
case 3：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mkp make_pair
#define pb push_back
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
const int N = 2e7 + 10, M = 1e8;
char s[N];
int calc(int x) {
int ret = x;
for(int i = 2; i * i <= x; i++) {
if(x % i == 0) ret /= i, ret *= (i - 1);
while(x % i == 0) x /= i;
}
if(x != 1) ret /= x, ret *= (x - 1);
return ret;
}
int power(int a, int b, int mod) {
int ret = 1;
while(b) {
if(b & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
a = 1ll * a * a % mod; b >>= 1;
}
return ret;
}
int main(){
int a, b = 0, m;
scanf("%d%d%s", &a, &m, s + 1);
int t = calc(m);
int len = strlen(s + 1);
bool fl = 0;
for(int i = 1; i <= len; i++) {
b = b * 10 + s[i] - '0';
if(b >= t) fl = 1;
b %= t;
}
if(fl) printf("%d\n", power(a, b + t, m));
else printf("%d\n", power(a, b, m));
return 0;
}
3.逆元
两种。
1.费马小定理(p为质数)
\(a^{p-1} \equiv 1 \bmod p\)
\(a^{p-2} \equiv \frac 1 p \bmod p\)
\(inv(x)=x^{p-2} \bmod p\)
快速幂。
2.exgcd
\(xinv(x) \equiv 1 \bmod p\)
设\(s=inv(x)\)
\(xs \equiv 1 \bmod p\)
\(xs+pt=1\)
exgcd。
还有线性的。
iv[0] = iv[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
iv[i] = 1ll * iv[p % i] * (p - p / i) % p;
4. 欧拉筛
线性筛素数。在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mkp make_pair
#define pb push_back
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
const int N = 1e8 + 10;
int n, q, p[N], cnt;
bool vis[N];
void init() {
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!vis[i]) p[++cnt] = i;
for(int j = 1; j <= cnt && p[j] * i <= n; j++) {
vis[p[j] * i] = 1;
if(i % p[j] == 0) break;
}
}
return;
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &q);
init();
for(int i = 1, k; i <= q; i++)
scanf("%d", &k), printf("%d\n", p[k]);
return 0;
}
5.crt&excrt
crt不会 反正excrt挺好的。
模板题
现在有n个形如\(x \equiv a_i \pmod {b_i}\)的方程
假设前k-1个方程的最小正整数解是\(ans_{k-1},\)
令 \(M=lcm(b_1,b_2,……,b_{k-1})\)
设 \(ans_k=ans_{k-1}+xM(x为整数)\)
则 \(ans_{k-1}+xM \equiv a_k \pmod {b_k}\)
∴\(Mx\equiv {{a_k}-{ans_{k-1}}} \pmod {b_k}\)
\(Mx+{b_k}y={{a_k}-{ans_{k-1}}}\)
exgcd。
题目的a,b读入是反的，注意。 还有记得开longlong。
/*
exCRT 正常做法。
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mkp make_pair
#define pb push_back
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
const int N = 1e5 + 10;
int n; ll ai[N], bi[N];
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y, ll &d) {
if(b == 0) x = 1, y = 0, d = a;
else exgcd(b, a % b, y, x, d), y = y - a / b * x;
return;
}
ll gcd(ll x, ll y) {
return (y == 0) ? x : gcd(y, x % y);
}
ll mul(ll x, ll y, ll mod) {
ll ret = 0;
while(y) {
if(y & 1) ret = (ret + x) % mod;
x = (x + x) % mod; y >>= 1;
}
return ret;
}
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%lld%lld", &ai[i], &bi[i]);
ll M = 1, ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
ll z = (bi[i] % ai[i] + ai[i] - ans % ai[i]) % ai[i];
ll x, y, d; exgcd(M, ai[i], x, y, d);
if(z % d) return puts("-1"), 0;
x = mul(x, z / d, ai[i] / d);
ans = ans + M * x;
M = M * (ai[i] / d);
ans = (ans % M + M) % M;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
/*
CRT 正常做法。
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mkp make_pair
#define pb push_back
#define PII pair<int, int>
#define PLL pair<ll, ll>
const int N = 15;
int n, a[N], b[N];
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y, ll &d) {
if(b == 0) x = 1, y = 0, d = a;
else exgcd(b, a % b, y, x, d), y = y - a / b * x;
return;
}
ll gcd(ll x, ll y) {
return (y == 0) ? x : gcd(y, x % y);
}
int main(){
scanf("%d", &n);
ll M = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
M = M * a[i] / gcd(a[i], M);
}
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
ll x, y, d, m = M / a[i]; exgcd(m, a[i], x, y, d);
x = (x % a[i] + a[i]) % a[i];
ans = (ans + 1ll * b[i] * m % M * x % M) % M;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
6.威尔逊定理
威尔逊定理
从 \((n-1)! \equiv -1 \bmod n\) 推出 \(n>1,n\)为素数
如果 \(n>1\) 且非质数，一定有一个 \(\le \sqrt n\) 的因子。取最小的非 1 因子 \(x\) 。
如果 \(x<\sqrt n\) ，显然可以用 \((n-1)!\) 组合出 \(n\) （它和 \(\frac n {x}\)）
如果 \(x=\sqrt n\) ，
- 对于 \(\sqrt n=2\) 成立。
- 对 \(\sqrt n>2\) ，\(\sqrt n ·2<n\) 一定能取出另一个 \(\sqrt n\) 因子。
所以非质数无法组成。
对于质数，余数分别是 \(1,2,3,4,...,n-1\) 。因为一个数只有一个逆元，所以要么 \(x\) 与 \(y\) 配对，要么 \(x^2 \equiv 1 \bmod n\)
显然 \(n=2\) 时成立。
\(n>2\) 时，考虑哪些 \(x=y\)
\(x^2\equiv 1 \bmod n\)
\(x_1=1,x_2=n-1\)
剩下的两两配对即可。
