Matrix-Tree 定理

引入

此算法可以解决图上生成树计数问题。

值得注意的是，矩阵树定理不能用于存在自环的图。

定义

设 \(G\) 是一个图。

记邻接矩阵 \(A(G)_{i,j} = \#e(i,j), \#e(i,j)\)

若 \(G\) 是无向图

记 \(D(G)\) 表示其度数矩阵，\(D(G)\) 满足 \(D(G)_{i,i}\) 表示第 \(i\) 点的度数，\(D(G)_{i,j} = 0(i \ne j)\) 。

定义基尔霍夫矩阵 \(L(G)\) 为：

\[L = D(G) - A(G) \]

记图 \(G\) 的生成树个数为 \(t(G)\)。

若 \(G\) 是有向图

记 \(D(G)^{in}\) 表示入度矩阵，\(D(G)^{in}_{i,i}\) 表示点 \(i\) 的入度，\(D(G)^{in}_{i,j} = 0(i \ne j)\)；记 \(D(G)^{out}\) 表示出度矩阵，\(D(G)^{out}_{i,i}\) 表示点 \(i\) 的出度，\(D(G)^{out}_{i,j} = 0(i \ne j)\)。
表示 \(i\) 与 \(j\) 相连的边数。

相似的，定义基尔霍夫矩阵 \(L(G)\)。

不同的是，有向图存在入度和出度基尔霍夫矩阵。

入度基尔霍夫矩阵定义为：\(L^{in}(G) = D(G)^{in} - A(G)\)。
出度基尔霍夫矩阵定义为：\(L^{out}(G) = D(G)^{out} - A(G)\)。

记图 \(G\) 的以 \(i\) 为根的叶向（外向）生成树个数为 \(t^{leaf}(G,i)\)。
记图 \(G\) 的以 \(i\) 为根的根乡（内向）生成树个数为 \(t^{root}(G,i)\)。

定理

定理1

对于一个无向图，它的生成树个数为基尔霍夫矩阵的 \(k-1\) 阶主子式。

定理2

设 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n-1\) 为无向图 \(G\) 的 \(L(G)\) 的 \(n-1\) 个非零特征值，那么有:\(t(G) = \frac{1}{n} \prod\limits_{i = 1}^{n-1} \lambda_i\)。

定理3

对于一个有向图 \(G\)，有:

\(t^{root}(G,i) = L^{in}(G)\) 除去第 \(i\) 行第 \(i\) 列的主子式。

定理4

对于一个有向图 \(G\)，有:

\(t^{leaf}(G,i) = L^{out}(G)\) 除去第 \(i\) 行第 \(i\) 列的主子式。

BEST 定理

定理5

对于一个欧拉图 \(G\)，记它的欧拉回路总数 \(ec(G)\)。

有：

\[ec(G) = t^{root}(G,k) \prod\limits_{u\in G} (\text{deg}(u) - 1) ! \]

注意，因为 \(G\) 是一个欧拉图，因此对于每个节点的 \(t^{root}(G,i)\) 相等且每个点的入度等于出度。

证明

不会。

拓展

若一个图有边权，求其所有最小生成树边权积的和，只需要将矩阵中所有元素乘上对应边权即可。