行列式 学习笔记

引入

行列式是方阵的一个运算，对于方阵 \(A\)，它的行列式记作 \(\text{det} A\) 也记作 \(|A|\)。

定义

全排列定义

记 \(\pi(p_1,p_2,\cdots,p_n)\) 是排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 的逆序对数量。

\[\text{det} A = \left[ \begin{array} {} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{array} \right] \]

表示为 \(n\) 阶行列式是指 \(n!\) 项的代数和，这些项是一切取自行列式上的不同行的 \(n\) 个元素的乘积 \(a_{1,p_1},a_{2,p_2},\cdots\,a_{n,p_n}\)。

有如下的计算公式：

\[\text{det} A = \sum\limits_{p_1,p_2,\cdots,p_n}(-1)^{\pi(p_1,p_2,\cdots,p_n)} \times \prod\limits_{i = 1}^n a_{i,p_i} \]

性质

全排列的性质

对于一个排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，如果 \(\pi(p_1,p_2,\cdots,p_n)\) 是奇数则称这是奇排列，反之则是偶排列。

定理

交换排列中的两个数字，排列的奇偶性发生改变。

归纳方法定义

子式

在一个矩阵中，任取 \(k\) 行 \(k\) 列，将选取的行和列的交点进行重新组合拼成一个行列式，这个新的行列式就是这个矩阵的一个 \(k\) 阶子式。

左图中，选取第 \(1,3\) 行和第 \(2, 4\) 列，所得的 \(2\) 阶子式就是右图

\[\left[ \begin {matrix} {} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end {matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin {matrix} {} 2 & 4 \\ 10 & 12 \end {matrix} \right] \]

余子式

对于行列式 \(A\)，元素 \(a_{i,j}\) 的余子式是去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列的行列式余下的 \(n - 1\) 阶子式，用符号 \(M_{i,j}\) 表示。

代数余子式

对于行列式 \(A\)，将元素 \(a_{i,j}\) 的余子式 \(M_{i,j}\) 附以符号 \((-1) ^ {i + j}\) 次方后，就是代数余子式，记作 \(A_{i,j}\)。

主子式

一个矩阵的 \(k\) 阶主子式是指，在矩阵中选取 \(k\) 行 \(k\) 列，要求选取的每一行的标号在选取的列的标号中有的一个子式。

比如选取了第 \(1,3,4\) 行就要选取第 \(1,3,4\) 列。

代数方法定义

此定义方法是说，满足了某些性质的运算只能是行列式。

性质

1. 当行列式是一个上三角矩阵时，行列式的值等于对角线的乘积。
2. \(\text{det} A = \text{det} A^T\)。
3. 交换行列式的列（行），行列式的值乘 \(-1\)。
4. 行列式的某一行（列）乘上 \(k\)，行列式的值乘 \(k\)。
5. 行列式可以拆成两个行列式的和。
6. 将行列式的某一行（列）加上另一行（列）的 \(k\) 倍，行列式值不变。

推论

根据以上性质，有如下推论：

1. 当行列式某行或列是全零的话，行列式的值为零。
2. 如果有两行（列）的值完全相等，那么行列式的值为零。

那么就可以根据以上性质，利用高斯消元将行列式消成上三角矩阵进行求解。