NAV导航网格寻路（3） -- 一些必要的计算几何知识

这篇是转的文章，原文 http://blianchen.blog.163.com/blog/static/13105629920103614613291/

在继续下面的nav网格生成算法之前，先介绍一下涉及到的计算几何知识。这里只罗列出结论，要详细了解参考相关书籍。

矢量加减法：
　设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
矢量叉积
设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P × Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质 P × Q = - ( Q × P ) 和 P × ( - Q ) = - ( P × Q )。
折线段的拐向判断：
　　折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。对于有公共端点的线段p0p1和p1p2，通过计算(p2 - p0) × (p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向：
　　若(p2 - p0) × (p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。
　　若(p2 - p0) × (p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。
　　若(p2 - p0) × (p1 - p0) = 0,则p0、p1、p2三点共线。
判断两线段是否相交：
　　我们分两步确定两条线段是否相交：
　　(1)快速排斥试验
　　　　设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交。
　　(2)跨立试验
　　　　如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。若P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0。同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) >= 0。
凸多边形
假设我们在一个多边形上(包括多边形的边界及边界围封的范围)任意取两点并以一条线段连结该两点，如果线段上的每一点均在该多边形上，那么我们便说这个多边形是凸的。
凸包
给定平面上的一个(有限)点集(即一组点)，这个点集的凸包就是包含点集中所有点的最小面积的凸多边形。
点在凸多边形中的判断
假设多边形是凸的，而且顶点p0,p1,...,pn按顺时针方向排列，则点在多边形任意一边 pi-1, pi 的右面。
Voronoi图及对偶图
Delaunay三角剖分（Voronoi对偶图）

在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一种特殊的三角剖分。先从Delaunay边说起：
    【定义】Delaunay边：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
    【定义】Delaunay三角剖分：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。
以下是Delaunay剖分所具备的优异特性：
    1.最接近：以最近临的三点形成三角形，且各线段(三角形的边)皆不相交。
    2.唯一性：不论从区域何处开始构建，最终都将得到一致的结果。
    3.最优性：任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话，那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。
    4.最规则：如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列，则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。
    5.区域性：新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。
    6.具有凸多边形的外壳：三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。
多边形裁剪

Weiler-Athenton算法