图像矩的理解
概率与统计中的矩
设 \(X\) 为随机变量，\(c\) 为常数，\(k\) 为正整数。则量 \(E[(x−c)^k]\) 称为 \(X\) 关于 \(c\) 点的 \(k\) 阶矩。
其中，
1）当 \(c=0\)，这时 \(v_k(X)=E(X^k)\) 称为 \(X\) 的 \(k\) 阶原点矩
2）当 \(c=E(X)\)，这时 \(μ_k(X)=E[(X−EX)^k]\) 称为 \(X\) 的 \(k\) 阶中心矩。
注意，
1）一阶原点矩就是期望
2）一阶中心矩恒等于零：\(μ_1(X)=0\)
3）二阶中心矩就是方差：\(μ_2(X)=D(X)\)
图像矩
原点矩
质心 \({\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}\)
中心距
如果，
\(\mu '_{{20}}=\mu _{{20}}/\mu _{{00}}=M_{{20}}/M_{{00}}-{\bar {x}}^{2}\)
\({\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}\mu '_{{02}}=\mu _{{02}}/\mu _{{00}}=M_{{02}}/M_{{00}}-{\bar {y}}^{2}\)
\({\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}\mu '_{{11}}=\mu _{{11}}/\mu _{{00}}=M_{{11}}/M_{{00}}-{\bar {x}}{\bar {y}}\)
则物体的形状方向
\(\Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{{11}}}{\mu '_{{20}}-\mu '_{{02}}}}\right)\)
不变矩
不变矩(Invariant Moments)是一处高度浓缩的图像特征，具有平移、灰度、尺度、旋转不变性。M.K.Hu在1961年首先提出了不变矩的概念。1979年M.R.Teague根据正交多项式理论提出了Zernike矩。
Hu矩
\(I_{1}=\eta _{{20}}+\eta _{{02}}\)
\({\displaystyle I_{2}=(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+4\eta _{11}^{2}}\)
\({\displaystyle I_{3}=(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}}\)
\({\displaystyle I_{4}=(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}}\)
\({\displaystyle I_{5}=(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}\)
\({\displaystyle I_{6}=(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})}\)
\({\displaystyle I_{7}=(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]-(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]}\)
实际上，在对图片中物体的识别过程中，只有M1和M2不变性保持的比较好，其他的几个不变矩带来的误差比较大，有学者认为只有基于二阶矩的不变矩对二维物体的描述才是真正的具有旋转、缩放和平移不变性(M1和M2刚好都是由二阶矩组成的）。
由Hu矩组成的特征量对图片进行识别，优点就是速度很快，缺点是识别率比较低。
