求解方程( 迭代法 牛顿迭代法 二分法)
迭代的意思是反反复复地执行某一步骤、程序或者事件，在数学中用的比较常见。
以上代码转自https://blog.csdn.net/pengwill97/article/details/77200372
https://blog.csdn.net/akatsuki__itachi/article/details/80719686
首先，迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列x0,x1,…,xn,来逐步逼近方程f(x)=0的解:
1）选取适当的初值x0；
2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改写为x=φ(x)的等价形式；
3) 构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ(x0)，再求x2=φ(x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数 φ(x)连续，则很容易得到这个极限值
#define eps 1e-8
int main()
{
x0=初始近似根；
do{
x1=x0;
x0=g(x1); //按特定的方程计算新的近似根
}while(fabs(x0-x1)>Epsilon);
printf("方程的近似根是%f\n",x0);
}注意：如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，那么迭代过程就会变成死循环。因此，在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在算法中对迭代次数给予限制。
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<math.h>
#define eps 1e-8
using namespace std;
void NewtonIteration();//牛顿迭代法求解方程
void DichotomySolving();//二分法求解方程
int main ()
{
NewtonIteration();
DichotomySolving();
}
//牛顿迭代法：xn=x(n-1)-f(x(n-1))/f'(x(n-1))
void NewtonIteration()
{
int a = 3, b = 2, c = 1, d = -6;//系数
float x1 = 1, x0;
float f0, f1;//f0是原方程 f1是方程的一阶导
do
{
x0 = x1;
f0 = ((a * x0 + b) * x0 + c) * x0 + d;//即a*x^3+b*x^2+c*x+d
f1 = (3 * a * x0 + 2 * b) * x0 + c;//一阶导数
x1 = x0 - f0/f1;
}while(fabs(x1 - x0) >= eps);
printf("(%d)x^3+(%d)x^2+(%d)x+(%d) = 0\n", a, b, c, d);
cout << "方程的解为：" << x1 << endl;
}
void DichotomySolving()//二分法求解方程
{
float x, x1 = 0, x2 = 2;
float f1, f2, f;
cout << "input x1, x2 (f(x1)*f(x2)<0)" << endl;
//假设原方程为 1/2x^3+2x^2-8
f1 = pow(x1, 3) / 2 + pow(x1, 2) * 2 - 8;
f2 = pow(x2, 3) / 2 + pow(x2, 2) * 2 - 8;
if(f1 * f2 > 0)
{
cout << "error" << endl;
return;
}
do
{
x = (x1 + x2) / 2;
f = pow(x, 3) / 2 + 2 * pow(x, 2) - 8;//f为飞f1
if(f == 0)
break;
if(f1 * f > 0)//已知解一定在f1与f2之间 因此以f1为切入点逐步逼近解
{//f1 * f > 0证明解在右半部分中 因此要高斯消元法
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;
const int MAXN=50;
int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元
int gcd(int a,int b)
{
if(b == 0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}
inline int lcm(int a,int b)
{
return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
int i,j,k;
int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
int col;//当前处理的列
int ta,tb;
int LCM;
int temp;
int free_x_num;
int free_index;
for(int i=0; i<=var; i++)
{
x[i]=0;
free_x[i]=true;
}
//转换为阶梯阵.
col=0; // 当前处理的列
for(k = 0; k < equ && col < var; k++,col++) // 枚举当前处理的行.
{
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r=k;
for(i=k+1; i<equ; i++)
{
if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
}
if(max_r!=k) // 与第k行交换.
{
for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
if(a[k][col]==0) // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
{
k--;
continue;
}
for(i=k+1; i<equ; i++) // 枚举要删去的行.
{
if(a[i][col]!=0)
{
LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
ta = LCM/abs(a[i][col]);
tb = LCM/abs(a[k][col]);
if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
for(j=col; j<var+1; j++)
{
a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
}
}
}
}
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for (i = k; i < equ; i++) // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
{
if (a[i][col] != 0) return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数.
if (k < var)
{
return var - k; // 自由变元有var - k个.
}
// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for (i = var - 1; i >= 0; i--)
{
temp = a[i][var];
for (j = i + 1; j < var; j++)
{
if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
}
if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
x[i] = temp / a[i][i];
}
return 0;
}
int main(void)
{
// freopen("in.txt", "r", stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
int i, j;
int equ,var;
while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
{
memset(a, 0, sizeof(a));
for (i = 0; i < equ; i++)
{
