luogu P5656

P5656

\(exgcd\) 裸题，但是细节好多……

题目要求 \(ax+by=c\) ，使用 \(exgcd\) 可以求出一组特解，我们设特解为 \(x_0, y_0\)。

求出这组特解之后，本题主要围绕这组特解计算。

• 求最小正整数解。

  对式子化简一下，变为

  \[a(x_0+p)+b(y_0-q)=c \]

  这里 \(p,q\) 都是整数，\(x_0+p\) 与 \(y_0+q\) 分别表示 \(x\) 的通解和 \(y\) 的通解。

  要使这个等式成立，显然 \(a\times p=b\times q\) ，解得 \(p=\frac{b\times q}{a}\) 。

  因为 \(p\) 是整数，那 \(a \mid b\times q, b \mid b \times q\) ，所以 \(b \times q\) 最小值为 \(lcm (a,b)\) 。

  \[b\times q=lcm (a,b)\\ b\times q=\frac{a\times b}{gcd (a,b)}\\ q=\frac{a}{gcd(a,b)} \]

  同理，得 \(p=\frac{a}{gcd(a,b)}\)。

  就是说，任意一组解 \(x_0\) 每变化 \(p\) 就有一组解， \(y_0\) 同理。

  那现在要求 \(x\) 的最小正整数解，那就是 \(x-(x-1)/q*q\) ，等价于 \((x \bmod q + q) \bmod q\)，\(y\) 同理。

• 求正整数解的数量。

  因为 \(x_0\) 每变化 \(p\) 就有一组解，现在已知 \(x\) 的最小正整数解，而且 \(x\) 越大 \(y\) 就应该越小，所以就知道了 \(y\) 的最大整数解。

  记 \(mx,my\) 分别表示 \(x,y\) 的最小正整数解和最大整数解。

  这时，就可以判断有无正整数解了。有正整数解，当且仅当 \(mx > 0\) 并且 \(my > 0\)。

  若有正整数解，就能求正整数解的数量，因为已知 \(y\) 的最大正整数解，而且 \(y\) 每变化 \(q\) 就有一组解，所以正整数解的数量为 \((my-1)/q*q+1\)。