莫队_Part two

带修莫队

原来莫队还能带修 \(qwq\)

算法简介

普通莫队是不支持修改的……

但是根据 \(DP\) 的思想，我们可以再给莫队加上一个时间维，表示在这次查询之前有多少次的修改。

如果普通莫队每个询问是这样写的 \([l, r]\)，那带修莫队就这样 \([l, r, time]\)

带修莫队也是可以 \(O(1)\) 转移到其他区间的状态上的，每次操作除了在端点上进行修改，还要对时间进行修改和比较。

带修莫队的排序方式变为块长为 \(n^{\frac{2}{3}}\)，分成了 \(n^{\frac{1}{3}}\) 块，排序时第一关键字为左端点所在块，第二关键字为右端点所在块，第三关键字是时间。

时间复杂度证明：

• 若左右端点所在块不变，时间会单调右移，复杂度 \(O(n)\)
• 若左右端点所在块改变，时间维一次最多移动 \(n\) 个格子，复杂度 \(O(n)\)
• 左端点所在块一共有 \(n^{\frac{1}{3}}\) 种，右端点也有 \(n^{\frac{1}{3}}\) 种，一共有 \(n^{\frac{1}{3}} \times n^{\frac{1}{3}} = n^{\frac{2}{3}}\) 种，每种乘上移动的复杂度 \(O(n)\)，总复杂度为 \(O( n^{\frac{5}{3}} )\)。