生成树_Part one

次小生成树

非严格次小生成树

定义

无向图的所有生成树中，边权和 大于等于 最小生成树边权和的生成树。
参考图：

可以想到一个显然的思路，\(dfs\) 求出所有生成树，然后选出比最小生成树权值小的第一个生成树。
但是上述方法最坏情况的时间复杂度是 \(O( C^{n-1}_m )\)，\(n\) 表示点的个数，\(m\) 表示边的个数，所以一定是不对的。

可以证明，在每条边权值都不相同的条件下，次小生成树一定与最小生成树相差一条边，因为如果有两条边不相同，比只有一条边不相同的生成树权值和更小。
所以我们能想到一个新的思路，考虑换边。
求出最小生成树，设生成树权值和为 \(sum\)。
遍历每一条没有被选过的边 \(e = (u, v, w), e ∈ G\)，添加到已生成树中，可以证明每次添加一条边都会形成一个环，想到最小生成树性质，故可以删掉环上除 \(e\) 之外的边的最大值，记录本次答案为 \(ans[i]\)。
最终答案为 \(max(ans[i]), i <= m - n + 1\)。
对于记录 \(u,v\) 路径上最大值，可以使用倍增或树剖解决。

严格次小生成树

定义

无向图的所有生成树中，边权和 大于 最小生成树边权和的生成树。

与次小生成树相似，我们可以维护边权最大值和次大值。

边为 \(m\)，查询复杂度 \(log(m)\)，最坏复杂度 \(O(mlogm)\)