排列组合

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

加法原理 & 乘法原理

加法原理

加法原理是分类计数原理，常用于排列组合中，具体是指：做一件事情，完成它有 \(n\) 类方式，第一类方式有 \(M_1\) 种方法，第二类方式有 \(M_2\) 种方法，……，第 \(n\) 类方式有 \(M_n\) 种方法，那么完成这件事情共有 \(M_1+M_2+……+M_n\) 种方法。
比如说：从武汉到上海有乘火车、飞机、轮船3种交通方式可供选择，而火车、飞机、轮船分别有 \(k_1，k_2，k_3\) 个班次，那么从武汉到上海共有 \(k_1+k_2+k_3\) 种方式可以到达。

乘法原理

做一件事，完成它需要分成 \(n\) 个步骤，做第一步有 \(m_1\) 种不同的方法，做第二步有 \(m_2\) 种不同的方法，……，做第 \(n\) 步有 \(m_n\) 种不同的方法。那么完成这件事共有 \(N=m_1×m_2×m_3×…×m_n\) 种不同的方法。 和加法原理是数学概率方面的基本原理。
若某个对象分为 \(n\) 个环节，第 \(1\) 个环节有 \(m_1\) 个元素，第 \(2\) 个环节有 \(m_2\) 个元素，……，第 \(n\) 个环节有 \(m_n\) 个元素，则该对象有 \(N=m_1×m_2×m_3×…×m_n\) 种序列。

排列组合基础

排列数

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\)（\(m <= n\)，\(m\) 与 \(n\) 均为自然数，下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m (m<=n)\) 个元素的所有排列的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(A_n^m\)（或者是 \(P_n^m\)）表示。

排列的计算公式：

\[A_n^m=n(n-1)(n-2)···(n-m+1)=n!/(n-m)! \]

\(n!\) 代表n的阶乘

可以这样理解：\(n\) 个人选 \(m\) 个来排队 \(m(m<=n)\)。第一个位置可以选 \(n\) 个，第二个位置可以选 \(n-1\) 个，后面同理，可知第 \(m\) 个可选 \(n-m+1\) 个，可得上面的式子

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拓展一下，全排列

\(n\) 个人来排队，队长（chang）为 \(n\) ，第一个位置可以选 \(n\) ，第二个位置可以选 \(n-1\)，以此类推得：

\[A_n^n=n(n-1)(n-2)···3×2×1=n! \]

全排列是排列数的一种特殊情况。

组合数

从 \(n\) 个不同的元素中，任取 \(m(m<=n)\) 元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同的元素中取出 \(m\) 个元素的组合数。用符号 \(C^m_n\) 来表示。

组合数计算公式

\[C^m_n=A^m_n/m!=n!/[m!(n-m)!] \]