二项式定理
前置知识：组合数。
通式：\((a, b)^n = C_n^0a^nb^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + ···+ C_n^ra^{n - r}b^r+··· + C_n^na^0b^n\)
最重要的部分就是通式中的\(C_n^ra^{n - r}b^r\)。
解释一下，将\((a, b) ^n\)中的\(a\)看作第一项，b看作第二项，将\(n\)分配给\(a\)和\(b\)，假设给\(b\)分配\(r\)次幂，则给\(a\)分配\(n-r\)次幂，通式中\(C^r_n\)中的\(r\)就等于给第二项\(b\)分配的系数，\(n\)等于第一二项的系数和。
有个口诀：分配系数，跟着后面走。就是说\(C^r_n\)中的\(r\)等于给\(b\)分配的系数.
讲几个例子···
Part 1 整式类
例1：给你\((x + 2) ^ 5\)，对它去括号，问你\(x^2\)的系数。
由通式可知，得出结果后\(x^2\)出现在给\(x\)（第一项）分配\(2\)次幂的时候，所以我们只研究给\(x\)分配\(2\)次幂的时候的式子即可。
由通式可以得到这样的式子：\(C^3_5x^22^3\)由组合数的计算公 式\(C^m_n = {n!/[m!(n-m)!]}\)可以计算\(C^3_5\)再乘上\(2^3\)可以算出\(x^2\)的系数为\(80\)
例2：给你\((1-2x)^6\)，再让你求\(x^2\)的系数。
还是像第一题那样，只求含\(x^2\)的式子\(C^2_61^4(-2x)^2\)即可，算出组合数等于\(15\)乘以\(-2^2\)得到\(x^2\)的系数为\(60\)
意外的简单~
Part 2 分式类
例1：\((x^3 + 1/x)^7\)，求\(x^5\)的系数。
唔，这咋求。
首先我们要始终想着怎样凑出五次幂……
讲一种方法，枚举(・ω≦)，显然7可以分解为\(1+6、2+5、3+4……\)，然后挨个试一试，可以发现，\(3+4\)这一组可以，带入一开始那个很重要的式子得到\(C^4_7(x^3)^3(1/x)^4=C^4_7x^9x^{-4}=C^4_7x^5\)可以算得系数等于\(35\)
例2：\((x-(-1/4x))^6\)，求\(x^2\)的系数。
emmmm……挺复杂的看着
先来化简，\((x-(-1/4x))^6=(x+1/4x)^6=(x+(1/4)*x^{-1})^6\)
凑指数，\(6\)可以分为\(1+5、2+4、3+3……\)好多啊，咋办呢？
再来讲一种方法，观察\(ヽ(°▽、°)ﾉ\)，看到化简后的式子中既有\(x\)又有\(x^{-1}\)，你就知道，当然要选\(4\)和\(2\)这个组合喽……
化简后得到\(C^2_6x^4[(1/4)x^{-1}]^2=C^2_6x^4(1/16)*x^{-2}=C^2_6(1/16)x^2\)可以算得系数为\(15/16\)
Part 3 根式类
例1：\((2x+\sqrt{x})^5\)，求\(x^3\)的系数。
这种不好观察，那在讲一种，可以列方程\(٩(๑>◡<๑)۶\) ，咋列呢？
\((2x+\sqrt{x})^5=(2x+x^{1/2})^5\)设给第二项（\(x^{1/2}\)）分配了k次幂，则给第一项（\(2x\)）分配了\(5-k\)次幂，可得\(C_5^k(2x)^{5-k}(x^{1/2})^k\)，把x的系数整出来就是\(5-k+k/2\)，这个式子等于我们要求的3次幂，解得\(k=4\)，那系数就等于\(5\)，简单~
例2：\((x^3 + 1 / (2\sqrt x))^5\)，求\(x^8\)的系数。
方程：\(3(5 - k) + -k/2 = 8\)，解得\(k=2\)，带入通式，得系数等于\(5/2\)。
Part 4 二项式\(×\)二项式
例1：\((x+y)(2x-y)^5\)，求\(x^3y^3\)的系数。
\(giao\)
直接说步骤吧，原式\(=x(2x-y)^5+y(2x-y)^5\)，根据分配律，分别取\(x,y\)计算
先取\(x(2x-y)\)，令\(x(2x-y)^5=x^3y^3\)
约去\(x\)，\((2x-y)^5=x^2y^3\)
凑指数，给\(2x\)分配\(2\)次幂，给\(y\)分配\(3\)次幂\(=>C^3_52^2x^2(-y)^3\)，系数为\(-40\)
取\(y(2x-y)^5\)，令\(y(2x-y)^5=x^3y^3\)
约去\(y\)，\((2x-y)^5=x^3y^2\)
凑指数，给\(2x\)分配\(3\)次幂，给\(y\)分配\(2\)次幂\(=>C^2_52^3x^3(-y)^2\)，系数为80
两个加起来就是\(x^3y^3\)的系数，为\(40\)
例2：\((1+ax)(1+x)^5\)，\(x^2\)的系数为\(5\)，求\(a\)?
跟例1一样~
取1：令\(1(1+x)^5=x^2\)
\(=>C^2_51^3x^2\)，系数为\(10\)
取\(ax\)：令\(ax(1+x)^5=x^2\)
约分，\(a(1+x)^5=x\)
\(=>C^1_51^4x^1\)，系数为\(5\)
加起来，答案是\(15\)
三项式
解决这种问题，就直接套公式……
公式：\(式子的系数的阶乘/每一项分的系数的阶乘的乘积\)
例1：\((x^2+x+y)^5\)，求\(x^5y^2\)的系数。
凑一下指数，\(2,1,2\)
得\(ans=5!/(2!1!2!)=30\)
例2：\((x-1/x-1)^4\)，求\(x\)的系数。
可以凑出的系数\(1,0,3\)和\(2,1,1\)
第一组：\(ans1=4!/(1!0!3!)=4\)
第二组：\(ans2=4!/(2!1!1!)=12\)
\(ans=ans1+ans2=16\)
