普通平衡树Treap
提醒
可以先学一下二叉搜索树，学完了平衡树差不多也会了~
前置知识：二叉树的定义
Part 1 介绍
平衡树的性质：
与搜索树类似，任意一个节点的真实值小于右儿子的真实值大于左儿子的真实值；维护一个小根堆；每个节点除了有一个真实值之外，还有一个随机值。
平衡树相对于搜索树的优点：
平衡树就是为了解决链而生的，当树中出现链时，再使用搜索树进行各种操作消耗时间很大，因为树上问题的复杂度是与节点深度成正相关的，比如说下图：
这是一棵树，也是一条链，在这上边跑搜索树，假设节点数是n，那么最坏的复杂度是O(n)。
如果使用平衡树，就可能会把它变成这样的形状：
因为平衡树维护的是一个小根堆，是根据每个点的随机值进行维护的，因为随机值大概率不会单调递增或递减，所以就可以把一条链变成一颗比较正常的树。
那复杂度就大大减小了，所以这就是平衡树的优点呐~
Part 2 详解
首先要知道要实现的东西是啥：
①插入元素；
②删除元素；
③查询元素排名；
④查询在某个排名上的元素；
⑤找前驱；
⑥找后继；
然后捏，讲准备工作。
- 先知道几个变量的意义：
t[now].siz（节点now的子树大小）
t[now].cnt（节点now的大小）
t[now].ran（节点now上的随机值）
t[now].ls（节点now的左儿子）
t[now].rs（节点now 的右儿子） - 左右旋
//左旋
int lx(int &now) {
int y = t[now].r;
t[now].r = t[y].l;
t[y].l = now;
pushup(now), pushup(y);
now = y;
}
解释一下，如图一，假设3号点的ran小于1号点的ran，为了维护小根堆的性质，要进行左旋，将三号点旋转为一号点的父亲，同时为了维护二叉树的性质，使4号点成为1号点的右儿子，这样既不会影响平衡树的性质，也维护了二叉树和小根堆的性质。
//右旋
int rx(int &now) {
int y = t[now].l;
t[now].l = t[y].r;
t[y].r = now;
pushup(now), pushup(y);
now = y;
}
与左旋同理~
//合并信息
void pushup(int &now) {
t[now].siz = t[t[now].l].siz + t[t[now].r].siz + t[now].cnt;
}
Part 3 解决问题
- 添加元素。
就是分四种情况，没有儿子了、当前点储存的值等于要添加的值、当前值大于要添加的、当前值小于要添加的。
代码如下：
void add(int &now, int &c) {
if(!now) {
now = ++cnt;
t[now].cnt = t[now].siz = 1;
t[now].val = c;
t[now].ran = rand();
return;
}
t[now].siz ++;
if(t[now].val == c) t[now].cnt ++;
if(c > t[now].val) {
add(t[now].r, c);
if(t[t[now].r].ran < t[now].ran) lx(now);
} else if(c < t[now].val) {
add(t[now].l, c);
if(t[t[now].l].ran > t[now].ran) rx(now);
}
pushup(now);
}
- 删除元素
与添加类似，少了没有点这一情况，因为没有点就不用删了，所以不用管。
void del(int &now, int &c) {
if(t[now].val == c) {
if(t[now].cnt > 1) t[now].cnt--, t[now].siz--;
else if(!t[now].l || !t[now].r) now = t[now].l + t[now].r;
else if(t[t[now].l].ran < t[t[now].r].ran) rx(now), del(now, c);
else lx(now), del(now, c);
return;
}
t[now].siz--;
if(t[now].val < c) del(t[now].r, c);
else del(t[now].l, c);
}
- 按值找排名
解释见代码
int qpm(int &c) {
int now = root, k = 0;//k表示之前在已经找到多少比c小的节点了
while(now) {
if(t[now].val == c) return k + t[t[now].l].siz + 1;
//如果该节点存的值与所要找的相等了，也就是找到了，那么直接返回已找过的点加上
//自己左子树的大小，因为排名是值比自己小的点的个数加一，所以返回值时要加一。
if(c < t[now].val) now = t[now].l;
else k += t[t[now].l].siz + t[now].cnt, now = t[now].r;
//如果要找的值比当前点的值大了，那就去右子树找，现在 当前节点和当前节点的左子
//树上所有的点都比c小，所以都存到k中去。
}
return k;
}
- 按排名找值
这与按值找排名是差不多的，不多赘述了。
int qval(int &k) {
int now = root;
while(now) {
if(t[t[now].l].siz < k && t[t[now].l].siz + t[now].cnt >= k) return t[now].val;
if(t[t[now].l].siz >= k) now = t[now].l;
else k -= t[t[now].l].siz + t[now].cnt, now = t[now].r;
}
return 0;
}
- 找前驱、后继
没什么好说的……
//找前驱
int qfr(int &c) {
int now = root, re = -INF;
while(now) {
if(t[now].val < c) re = t[now].val, now = t[now].r;
else now = t[now].l;
}
return re;
}
//找后继
int qne(int &c) {
int now = root, re = INF;
while(now) {
if(t[now].val > c) re = t[now].val, now = t[now].l;
else now = t[now].r;
}
return re;
}
关于复杂度及其证明：
设n为树内节点的个数，h为树的高度
树的各种操作均为O(h)，h可能是log(n)，也可能是n
普通的二叉树，操作复杂度均为log(n)，最坏情况下可能是O(n)，随机构造树的平均高度为log(n)，所以平均复杂度为log(n)
插入和删除操作的复杂度均为log(n)，旋转操作可能会到达log(n)次
那就讲完啦~
