博弈论+ybt题解

NIM游戏及其证明

题目描述即为T1，不多赘述

有向图游戏及SG函数

而对于由$n$个有向图游戏组成的组合游戏，设它们的起点分别为$S_1,S_2,\dots ,S_n$，则有定理：

当且仅当$\text{SG}(s_1)\oplus \text{SG}(s_2)\oplus \dots \oplus \text{SG}(s_n)\ne 0$时，这个游戏是先手必胜的。

考虑如何证明，我们考虑NIM游戏中一种合法的取法为选择一堆并取走其中任意大于0的石子数也就是可以从 $a_i$ 转移到 $[a_i-1,0]$ 的任意值，并且NIM游戏时通过当所有 $a_i$ 都为0时游戏为先手必输而推来的，如果满足这个两个条件就可以沿用NIM游戏的定理

我们考虑 $SG(x)$ 的定义，就是与 $x$ 直连的所有后继的 $mex$，所以 $SG(x)$ 可以直接转移到 $[SG(x)-1,0]$，并且当所有 $SG(a_i)$ 都为0时，游戏也是先手必输局面，这显然也满足NIM游戏的定义，所以可以直接沿用NIM游戏的证明，证毕

同时有意思的一点是，NIM游戏也可以用SG函数来解释，我们有k堆相当于有k个起点，然后对于每个堆可以拿走任意个的限制就是对于 $a_i$，它所对应的节点 $[a_i-1,0]$ 都有一条有向边，所以 $SG(a_i)=a_i$，也恰恰符合了定义

T1：

根据NIM游戏直接做

T2：

1. $n=1$，那先手就不能进行操作，所以无必胜策略。

2. $n=2$，先手有必胜策略。先手进行操作2，让后手陷入情况1。

3. 若$n$是奇数($n\ne 1$)，先手有必胜策略。先手进行操作1，因为一个数的本身也是它的因子，而且它是个奇数，所以可以除以它本身，让后手陷入情况1。

4. 若$n$是偶数($n\ne 2$)，偶数肯定不能进行操作2，因为偶-1=奇，让后手变成情况3，后手就赢了。

首先将$n$表示成如下式子：

$$n=2^k\times m$$

其中$m$为奇数，继续分情况考虑。

4.1 $m=1$，也即$n=2^k$。

因为$2^k$没有任何奇因子（除1外），所以只能进行操作2，后手就赢了。所以无必胜策略。

4.2 $m$是个质数

当$m$是个质数时，操作1只能除以$m$，剩下$2^k$。

4.2.1. $k=1$

则除完$m$后只剩下$2$，让后手变成情况2，后手就赢了，无必胜策略。

4.2.2. $k>1$

让后手陷入情况4.1，先手赢，有必胜策略。

4.3 $m$不是个质数

也即：

$$n=2^k\times p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots \times p_m^{a_m}(m>1)$$

4.3.1 $k=1$

此时只要除以$p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots \times p_i^{a_i}\times \cdots \times p_m^{a_m}\times p_i^{-1}$ ($1\le i\le m$)就行了，

剩下 $2\times p_i$ 让后手陷入情况4.2.1，先手赢，有必胜策略。

4.3.2. $k>1$

除以 $p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots \times p_m^{a_m}$，剩下$2^k$，让后手陷入情况4.1，先手赢，有必胜策略。

所以情况4.3都有必胜策略。

T3：

求SG函数练习题

首先我们把开始局面看成是一种状态，发现可以对于每一个 $a_i$ 求一下SG函数，然后再把它们异或起来就是这种局面的SG函数(ps:这是另一个定理，但是ybt中并没有讲到，并且也没有提到证明，本人也尝试证明过，但没有证明出来)

然后我们递归下去记搜SG函数即可，复杂度 $O(n^2)$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int n;
int a[N],sg[N];
int SG(int x){
    if(sg[x]!=-1)  return sg[x];
    int k=0;
    bool vis[x+50];\\注：这里vis只能为一个函数服务，所以要写在函数内部
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i*i<=x;i++){
        if(x%i)  continue;
        k^=SG(i);
        if(i*i==x||i==1)  continue;
        k^=SG(x/i);
    }
    for(int i=1;i*i<=x;i++){
        if(x%i)  continue;
        vis[k^SG(i)]=1;
        if(i*i==x||i==1)  continue;
        vis[k^SG(x/i)]=1;
    }
    int res=0;
    while(vis[res])  res++;
    return sg[x]=res;
}
int main(){
    memset(sg,-1,sizeof(sg));
    sg[1]=0;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        int k=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            k^=SG(a[i]);
        }
        if(k!=0)  printf("freda\n");
        else  printf("rainbow\n");
    }
    return 0;
}

T4：

硬控我一整天！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

思路很清晰明了，记忆化搜索出SG函数

本人问题：

1.为什么不可以直接把胜负反过来做？

因为考虑SG定理的证明，一个是任意一个是存在，反过来就不行了

2.为什么不可以设 $1\ast n,n\ast 1$ 为1转移？

起始状态不可设为1，不满足定理

3.1*1为什么不可以看成一个必败状态，直接进行转移？

待解答ing。。。