ybt6.1章矩阵快速幂题解

矩阵计算

矩阵加减法

要求两个矩阵的行和列相等，两个矩阵对应的位置相加减即可

矩阵乘法

1. 一个数 $k$ 乘矩阵 $A$，把 $k$ 乘以矩阵的各个元素，记为 $kA$

2. 两个矩阵 $A$ 与 $B$ 相乘，要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数， $A$ 尺寸为 $m\ast n$，$B$ 尺寸为 $n\ast u$，乘积 $C$ 的尺寸为 $m\ast u$，计算公式为 $C[i,j]=\sum _{k=1}^{n}A[i][k]\ast B[k][j]$

相当于是固定 $A$ 的一行，$B$ 的一列，并把对应的数乘起来再全部加起来作为 $C[i][j]$ 的答案

矩阵乘法不满足交换律 $AB\ne BA$ 因为要满足要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数这一限制，而反过来就不一定能满足了

矩阵乘法满足结合律 $(AB)C=A(BC)$ 和分配律 $(A+B)C=AC+BC$，这个手玩一下就好了

T1:

快速幂，板子

T2：

做这种题应该先把递推式子列出来，然后再根据公式列出矩阵，然后往里套就行了

T3：

ybt题解错误

首先这一部分是正确的

然后我们考虑这种形式很矩阵快速幂,就相当于是矩阵 $A^k=A^{k-1}\ast A$

然后A初始化的话就是我们原来的邻接矩阵，自爆的话就将每一个点朝0号节点连一条边，停留的话就将这个点和自己连一条边

for(int i=1;i<=m;i++){
    scanf("%d%d",&u,&v);
    b.m[u][v]=1;b.m[v][u]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)  b.m[i][0]=1;
for(int i=0;i<=n;i++)  b.m[i][i]=1;//这里为什么从0开始，因为我们要把每一秒自爆的方案数留到最后第t秒的时候

最后答案即为

for(int i=0;i<=n;i++){
    num+=b.m[1][i];
    num%=mod;
}

2025.1.27补档：

我试图解释一下以上思路是怎么想到的

我最开始设的dp状态是在第 j 秒走到 i 点的方案数设为 $dp[i][j]$

我们会发现这样的转移必定会与边与边之间的关系有关，这样我们就不得不做 t 次转移，然而这样是承受不起的

所以我们想到了另一种方案，邻接矩阵，然后就会发现邻接矩阵转移的方式和矩阵乘法一摸一样，并且每一次转移乘的矩阵都是相同的，所以可以使用矩阵快速幂加速

T4：

T5：

广义矩阵乘法：

只要满足这些性质的都可以进行广义矩阵乘法

然后要先离散化一下，只有200个点可用

T6:

跟狭义斐波那契额数列一样，都是一个套路推出来 $A$ 矩阵，注意因为给的是 $a1,a2$ 两项，所以要乘 $n-2$ 次方

T7:

找规律？dp？

在尝试了好多次dp后我放弃了

然后发现其实是找规律题

我们看题解就行了，讲的听清楚的

具体思路就是对行和列相等的情况分开计算，最后再容斥掉都相等的情况就行了

T8:

首先每个数是独立的，所以我们只用考虑每一个数只要不在所有k个s中出现即可，方案数 $2^k-1$ 然后因为有n个数，所以是 $(2^k-1{)}^n$ 种方案

因为n,k都非常之大，所以我们只能用字符串读入，然后又不想写高精，怎么办呢，我写了一个10进制的快速幂，就过了，非常简单

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=70,mod=1e9+7;
int lg[N];
char n[N],k[N];
int quickpow(int x,char *g){
    int len=strlen(g+1),ans=1;
    // printf("%lld\n",len);
    lg[0]=x;
    for(int i=1;i<=63;i++){
        lg[i]=1;
        for(int j=1;j<=10;j++){
            lg[i]=lg[i]*lg[i-1]%mod;
        }
    }
    for(int i=len;i>=1;i--){
        for(int j=1;j<=g[i]-'0';j++){
            // printf("%lld\n",j);
            ans=ans*lg[len-i]%mod;
        }
    }
    return ans;
}
signed main(){
    cin>>n+1>>k+1;
    int cnt=quickpow(2,k);
    printf("%lld",quickpow((cnt-1+mod)%mod,n));
}

T9:

推式子太巧妙了！！！

经典转化技巧 $C_n^k=C_n^{n-k}$

想到这个式子就完成了

具体推导过程看题解

注意因为输入时 $n,s,d$ 都大于 $1e9$ 所以在做乘法时应先将两边都取模