分金币

分金币

题目描述：

​ 圆桌旁坐着n个人，每人有一定数量的金币，金币总数能被n整除。每个人可以给他左右相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数相等。你的任务是求出被转手的金币数量的最小值。比如，n=4，且4个人的金币数分别为1，2，5，4时，只需转移4枚金币（第3个人给第2个人两枚金币，第2个人和第4个人分别给第1 个人1枚金币）即可实现每人手中的金币数目相等。

Input：

​ 输入包含多组数据。每组数据第一行为整数n（n<=1 000 000），以下n行每行为一个整数，按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。输入结束标志为文件结束符（EOF）。

Output：

​ 对于每组数据，输出被转手金币数量的最小值。输入保证这个值在64位无符号整数范围内。

Sample Input：

4 1 2 5 4

Sample Output:

4

题解：

假设M为每个人都拥有的金币数，每个人的金币变化是左右相邻的人对其造成的影响
假设这n个人构成一个环，先假设n=4，设\(x1\)指1号给4号多少金币，则\(x2\)代表2号给1号
多少金币，其他的由此类推下去。
则对于1号来说，他给了4号金币，则剩\(a1-x1\)
2号给了他金币，则剩\(a1-x1+x2\)
注意这里1号给4号和4号给1号的意义隐含在x1的符号里面（很巧妙），其他的类似
由于最后要等于M，然后就可以得方程了
\(a1-x1+x2=M >> x2 = x1-(a1-M) = x1 - C1\\ a2-x2+x3=M >> x3 = x2-(a2-M)=x1-a1-a2-2*M = x1 - C2\\ a3-x3+x4=M >> x4 = x3-a1-a2-a3-3*M = x1 - C3\\ an-xn+x1=M >> xn = x1 - C(n-1)\)
看到这里我们知道答案是所有xi的绝对值最小了
很显然这就转化为数轴上求一点x到\(ci\)距离和的最小值，然而这个点x其实就是序列\(ci\)（排
序后）的中位数，稍微想想应该知道

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1000000+10;
long long A[maxn], C[maxn], tot, M;

int main(){
    int n;
    long long sum = 0;
    scanf("%d", &n);

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        scanf("%d", &A[i]);
        sum += A[i];
    }

    int arg = sum/n;

    C[0] = 0;

    for(int i = 1; i < n; ++i){
        C[i] = C[i-1] + A[i] - arg;
    }

    sort(C, C+n);

    long long x1 = C[n/2];
    long long ans = 0;

    for(int i = 0; i < n; ++i){
        ans += abs(x1 - C[i]);
    }

    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

结论：

给定数轴上的n个点，在数轴上的所有点中，中位数离所有顶点的距离之和最小。