怎样寻找最佳爱人：一个微积分求解的离散数学问题（建模）

    怎样寻找最佳爱人：一个微积分求解的离散数学问题

    本文探讨的是怎样寻找最佳配偶。内容大致分为3个部分：数学模型的建立，可能性的计算，微积分的计算。

    你可能正在寻找自己的配偶。显然尽可能地，你想找到人生的最佳伴侣。当与一位约会“候选人”相见，你就有机会判定了。从夫妻方面考虑，你们究竟有多般配。这场约会游戏存在下边几个规则：

    ·同时正儿八经地约会不同的两个人。人们一般认为这是一种不良行为。所以，你可以断定每个人一次约会一个人。

    ·你约会一个人的时间长度是任意的。不过到最后，你必须在“选择”对方或者说“不”之间二选一。然后，目标转移到下一个候选人。

    ·某个人一旦被否定了，你就不可能回头。否定是永久性的。

    ·你的目的是选择最佳配偶。如果存在N个候选人，你能够怎样地将这种几率最优化？

    某 个候选人为“好”，或者不是“那么好”。知道这些，对你而言是必不可少的。什么是“好”？要对之获得一定的认识，唯一的办法是“广泛接触”——口语中，这 个词语的意思是：滥交情人，同时与几个人谈情说爱。所以，不带严肃的意图去约会几个人，从而来测定对象的各种属性。这对你而言是很重要的。这类似于棒球安 打中的“好球”战术。一次好球就给予击球员一次机会。从这个投手，他可以更好地判断什么是好的投球。在这个模型中，我们将使用到“广泛策略”和“好球战 术”。

    寻偶策略：不做选择地约会k个人。然后，对这第一个k中的人做出判定，选出比当中任何一个都好的第一个人。

    N与k之间的关系是什么？它正是要让我们从N个选项中选出最好配偶的几率最大化。如果k很小，我们的信息就很少。没有选项质量的充分信息，我们不知情的选择就可能草率而不明智。如果k很大，那么在第一个k中，最后的选择完全最佳的可能性就更大。这个k确定了，我们的选择不会最理想。于是，这就属于最大-最小的动态算法。随着k的增大，我们就能做出越来越好的选择。但是随着k增大，我们也要面临另一种可能——在选拔过程开始前，我们的最佳选择已经错过。

    寻偶的数学模型

    我们想要找到k的值（相对于N）。在N个潜在选项中，它给予我们选出最佳配偶的最大概率。我们要建立一个函数P(k)，用来计算变量k的成功率。记住，k只可能是一个整数。所以，这个函数的定义域是k=0,1,2,…, N-1。如果k=0，这就相当于选择了第一个人。如果k=N-1，那就是我们选择了最后一个人。

    为了定义P（k），我们需要考虑最佳选择可能的那个点。它的位置可能是从1到N的任何一点。如果我们选出了最好的那个人，那么我们就成功了。否则，我们就是失败的。如果我们让k个人被放过，然后选出第一个比第一个k中任何人都好的人，那么成功的概率可以用下图来计算：

    

    最好的那个人可能在第一个k中，也可能在第二个或者第三个。事实上，它可能在数轴的任何位置。所以对于具体的位置和最后选择，这个概率是个别概率的总和。

    于是

    

    我们需要确定这些概率中的每一个，并且把它们全部加起来。