二叉树学习（上）

一：树

  我们思维中的”树“就是一种枝繁叶茂的形象，那么数据结构中的”树“该是怎么样呢？对的，他是一种现实中倒立的树。

 

1：术语

     其实树中有很多术语的，这个是我们学习树形结构必须掌握的。

     <1>  父节点，子节点，兄弟节点

                  这个就比较简单了，B和C的父节点就是A，反过来说就是B和C是A的子节点。B和C就是兄弟节点。

     <2>  结点的度

                 其实”度“就是”分支数“，比如A的分支数有两个“B和C",那么A的度为2。

     <3> 树的度

                看似比较莫名其妙吧，他和”结点的度“的区别就是，树的度讲究大局观，乃树中最大的结点度，其实也就是2。

     <4> 叶结点，分支结点

                叶结点就是既没有左孩子也没有右孩子结点，也就是结点度为0。分支节点也就是if的else的条件咯。

    <5> 结点的层数

               这个很简单，也就是树有几层。

   <6> 有序树，无序树

               有序树我们先前也用过，比如“堆”和“二叉排序树”，说明这种树是按照一定的规则进行排序的，else条件就是无序树。

   <7>  森林

               现实中，很多的树形成了森林，那在数据结构中，我们把上图的“A”节点砍掉，那么B，C子树合一起就是森林咯。

2: 树的表示

     树这个结构的表示其实有很多种，常用的也就是“括号”表示法。

     比如上面的树就可以表示为：(A(B(D),(E)),(C(F),(G)))

二： 二叉树

         在我们项目开发中，很多地方都会用到树，但是多叉树的处理还是比较纠结的，所以俺们本着“大事化小，小事化了“的原则

      把”多叉树“转化为”二叉树“，那么问题就简化了很多。

 

1： ”二叉树“和”树“有什么差异呢？

         第一点:  树的度没有限制，而“二叉树”最多只能有两个，不然也就不叫二叉树了，哈哈。

         第二点：树中的子树没有左右划分，很简单啊，找不到参照点，二叉树就有参照物咯。

 

2： 二叉树的类型

       二叉树中有两种比较完美的类型，“完全二叉树”和“满二叉树”。

          <1>  满二叉树    

                       除叶子节点外，所有节点的度都为2，文章开头处的树就是这里的“满二叉树”。

          <2>  完全二叉树

                      必须要满足两个条件就即可：  干掉最后一层，二叉树变为“满二叉树”。

                                                              最后一层的叶节点必须是“从左到右”依次排开。

                     我们干掉文章开头处的节点“F和”G",此时还是“完全二叉树”，但已经不是“满二叉树”了，你懂的。

3： 二叉树的性质

         二叉树中有5点性质非常重要，也是俺们必须要记住的。

     <1>  二叉树中，第i层的节点最多有2^(i-1)个。

     <2>  深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点。

     <3>  二叉树中，叶子节点树为N₁个，度为2的节点有N₂个，那么N₁=N₂+1。

     <4>  具有N个结点的二叉树深度为（Log₂ N）+1层。

     <5>  N个结点的完全二叉树如何用顺序存储，对于其中的一个结点i，存在以下关系，

              2*i是结点i的父结点。

              i/2是结点i的左孩子。

              (i/2)+1是结点i的右孩子。

4： 二叉树的顺序存储

      同样的存储方式也有两种，“顺序存储”和“链式存储”。

       <1> 顺序存储

                 说实话，树的存储用顺序结构比较少，因为从性质定理中我们都可以看出只限定为“完全二叉树”，那么如果二叉树不是

              “完全二叉树”，那我们就麻烦了，必须将其转化为“完全二叉树”，将空的节点可以用“#”代替，图中也可看出，为了维护

              性质定理5的要求，我们牺牲了两个”资源“的空间。

 

 <2> 链式存储

               上面也说了，顺序存储会造成资源的浪费，所以嘛，我们开发中用的比较多的还是“链式存储”，同样“链式存储”

            也非常的形象，非常的合理。

               一个结点存放着一个“左指针”和一个“右指针”，这就是二叉链表。

               如何方便的查找到该结点的父结点，可以采用三叉链表。

5: 常用操作

      一般也就是“添加结点“，“查找节点”，“计算深度”，“遍历结点”，“清空结点

 

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace BinaryTree
{

    ///<summary>
    ///二叉链表存储结构
    ///</summry>
    ///<typeparam name="T"></typeparam>

    public class ChinaTree<T>
    {
        //字段
        public T data;
        public ChinaTree<T> left;
        public ChinaTree<T> right;
        public int Length { get; set; }
        //构造函数
        public ChinaTree(T nodevalue)
        {
        this.data = nodevalue;
        this.left = null;
        this.right = null;
        }

     /// <summary> 
     /// 将指定节点插入到二叉树中 
     /// </summary> 
     /// <typeparam name="T"></typeparam> 
     /// <param name="tree"></param> 
     /// <param name="node"></param> 
     /// <param name="direction">插入做左是右</param> 
     /// <returns></returns>
        public ChinaTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChinaTree<T> tree, ChinaTree<T> node, T data, Direction direction)
        {
            //树为空
            if (tree == null)
            {
                return null;
            }

            if(tree.data.Equals(data))
            {
               switch(direction)
               {
                   case Direction.Left:
                       if(tree.left!=null)
                           throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");
                       else
                       tree.left=node;

                           break;
                   case Direction.Right:

                           if (tree.right != null)
                               throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");
                           else
                               tree.right = node;
                           break;
               }
            }
            BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
            BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);
            return tree;
        }

        //查找节点 在二叉树中查找指定的key
        public ChinaTree<T> BinTreeFind<T>(ChinaTree<T> tree, T data)
        {
            if (tree == null)
                return null;
            if (tree.data.Equals(data))
                return tree;
            return BinTreeFind(tree, data);
        }

        //计算深度 获取二叉树的深度
        public int BinTreeLen<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            int leftLength;
            int rightLength;

            if (tree == null)
                return 0;
            //递归左子树的深度
            leftLength = BinTreeLen(tree.left);
            //递归右子树的深度
            rightLength = BinTreeLen(tree.right);
            if (leftLength > rightLength)
                return leftLength + 1;
            else
                return rightLength + 1;
        }
      //遍历节点分为： 
            //先序：先访问根，然后递归访问左子树，最后递归右子树。（DLR模式）

            //中序：先递归访问左子树，在访问根，最后递归右子树。（LDR模式）

            //后序：先递归访问左子树，然后递归访问右子树，最后访问根。（LRD模式）

            //按层：这个比较简单，从上到下，从左到右的遍历节点。

        //先序遍历
        public void BinTree_DLR(ChinaTree<T> tree)
        { 
             if(tree==null)
            {
               return;
            }
            //先输出根元素
            Console.WriteLine(tree.data+"\t");

            //然后遍历左子树
            BinTree_DLR(tree.left);
            //然后遍历右子树
            BinTree_DLR(tree.right);
        }

        //中序遍历
        public void BinTree_LDR(ChinaTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;
            //先遍历左子树
            BinTree_LDR(tree.left);
            //输出节点值
            Console.WriteLine(tree.data + "\t");
            //遍历右子树
            BinTree_LDR(tree.right);
        }

        //后序遍历
        public void BinTree_LRD<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;
            //先遍历左子树
            BinTree_LRD(tree.left);
            //再遍历右子树
            BinTree_LRD(tree.right);
            //输出节点值
            Console.WriteLine(tree.data + "\t");
        }

        //按层遍历
        public void BinTree_Level<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;
            //申请保存空间
            ChinaTree<T>[] treelist = new ChinaTree<T>[Length];

            int head = 0;
            int tail = 0;
            //存放数组
            treelist[tail] = tree;

            //循环链中计算tail的位置
            tail = (tail + 1) % Length;
            while (head != tail)
            {
                var tempNode = treelist[head];
                head = (head + 1) % Length;
                //输出节点
                Console.WriteLine(tempNode.data + "\t");

                //如果左子树不为空 则将左子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.left != null)
                {
                    treelist[tail] = tempNode.left;
                    tail = (tail + 1) % Length;
                }
                //如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.right != null)
                {
                    treelist[tail] = tempNode.right;
                    tail = (tail + 1) % Length;
                }
            }

        }

        //清空二叉树
        public void BinTreeClear<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            //递的结束点，归的起始点
            if (tree == null)
                return;
            BinTreeClear(tree.left);
            BinTreeClear(tree.right);
            //在归的过程中，释放当前节点的数据空间
            tree = null;
        
        }


    }

    //枚举左节点和右节点
    public enum Direction {Left=1,Right=2}

}

 汇总代码：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace ConsoleApplication1
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            ChainTreeManager manager = new ChainTreeManager();
            //插入节点操作 
            ChinaTree<string> tree = CreateRoot();
            //插入节点数据 
            AddNode(tree);
            //先序遍历 
            Console.WriteLine("\n先序结果为： \n");
            manager.BinTree_DLR(tree);
            //中序遍历
            Console.WriteLine("\n中序结果为： \n");
            manager.BinTree_LDR(tree);
            //后序遍历 
            Console.WriteLine("\n后序结果为： \n");
            manager.BinTree_LRD(tree);
            //层次遍历 
            Console.WriteLine("\n层次结果为： \n");
            manager.Length = 100;
            manager.BinTree_Level(tree);
            Console.WriteLine("\n树的深度为：" + manager.BinTreeLen(tree) + "\n");
            Console.ReadLine();
        }
        //生成根节点

        static ChinaTree<string> CreateRoot()
        {
            ChinaTree<string> tree = new ChinaTree<string>();
            Console.WriteLine("请输入根节点，方便我们生成树\n");
            tree.data = Console.ReadLine();
            Console.WriteLine("根节点已经生成\n");
            return tree;
        }

        //插入节点操作

        static ChinaTree<string> AddNode(ChinaTree<string> tree)
        {
            ChainTreeManager mananger = new ChainTreeManager();
            while (true)
            {
                ChinaTree<string> node = new ChinaTree<string>();
                Console.WriteLine("请输入要插入节点的数据\n");
                node.data = Console.ReadLine();
                Console.WriteLine("请输入要查找的父节点的数据\n");
                var parentData = Console.ReadLine();
                bool flag = mananger.BinTreeFind(tree, parentData);
                if (!flag)
                {
                    Console.WriteLine("未找到你输入的父节点，请重新输入");
                    continue;
                }
                Console.WriteLine("你确定要插到父节点的：1 左侧，2右侧");
                Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine());
                tree = mananger.BinTreeAddNode(tree, node, parentData, direction);
                Console.WriteLine("是否继续？  1 继续， 2 退出");
                if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1)
                    continue;
                else
                    break;
            }
            return tree;

        }

    }
    public enum Direction { Left = 1, Right = 2 }
    public class ChinaTree<T>
    {
        //字段
        public T data;
        public ChinaTree<T> left;
        public ChinaTree<T> right;
    }

    public class ChainTreeManager
    {
        //按层遍历的Length的空间存储
        public int Length { get; set; }

        /// <summary> 
        /// 将指定节点插入到二叉树中 
        /// </summary> 
        /// <typeparam name="T"></typeparam> 
        /// <param name="tree"></param> 
        /// <param name="node"></param> 
        /// <param name="direction">插入做左是右</param> 
        /// <returns></returns>
        public ChinaTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChinaTree<T> tree, ChinaTree<T> node, T data, Direction direction)
        {
            //树为空
            if (tree == null)
            {
                return null;
            }
            try
            {
                if (tree.data.Equals(data))
                {
                    switch (direction)
                    {

                        case Direction.Left:
                            if (tree.left != null)
                                throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");
                            else
                                tree.left = node;

                            break;
                        case Direction.Right:

                            if (tree.right != null)
                                throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");
                            else
                                tree.right = node;
                            break;
                    }
                }
                BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);
                BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);
               
            }
            catch (Exception ex)
            {
                Console.WriteLine(ex.Message);
            }
            return tree;
        }
        public ChinaTree<T> BinTreeChild<T>(ChinaTree<T> tree, Direction direction)
        {
            ChinaTree<T> childNode = null;
            if (tree == null)
                throw new Exception("二叉树为空");
            switch (direction)
            {
                case Direction.Left:
                    childNode = tree.left;
                    break;
                case Direction.Right:
                    childNode = tree.right;
                    break;
            }
            return childNode;
        }


        //查找节点 在二叉树中查找指定的key
        public bool BinTreeFind<T>(ChinaTree<T> tree, T data)
        {
            bool flag = false;
            if (tree == null)
                return false;
            if (tree.data.Equals(data))
                return true;
            if (tree.left != null)
            {
                return BinTreeFind(tree.left, data);
            }
            if (tree.right != null)
            {
                return BinTreeFind(tree.right, data);
            }
           
            return flag;


        }

        //计算深度 获取二叉树的深度
        public int BinTreeLen<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            int leftLength;
            int rightLength;

            if (tree == null)
                return 0;
            //递归左子树的深度
            leftLength = BinTreeLen(tree.left);
            //递归右子树的深度
            rightLength = BinTreeLen(tree.right);
            if (leftLength > rightLength)
                return leftLength + 1;
            else
                return rightLength + 1;
        }

        //判断二叉树是否为空
        public bool BinTreeisEmpty<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            return tree == null ? true : false;
        }
        //遍历节点分为： 
        //先序：先访问根，然后递归访问左子树，最后递归右子树。（DLR模式）

        //中序：先递归访问左子树，在访问根，最后递归右子树。（LDR模式）

        //后序：先递归访问左子树，然后递归访问右子树，最后访问根。（LRD模式）

        //按层：这个比较简单，从上到下，从左到右的遍历节点。

        //先序遍历
        public void BinTree_DLR<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
            {
                return;
            }
            //先输出根元素
            Console.Write(tree.data + "\t");

            //然后遍历左子树
            BinTree_DLR(tree.left);
            //然后遍历右子树
            BinTree_DLR(tree.right);
        }

        //中序遍历
        public void BinTree_LDR<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;
            //先遍历左子树
            BinTree_LDR(tree.left);
            //输出节点值
            Console.Write(tree.data + "\t");
            //遍历右子树
            BinTree_LDR(tree.right);
        }

        //后序遍历
        public void BinTree_LRD<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;
            //先遍历左子树
            BinTree_LRD(tree.left);
            //再遍历右子树
            BinTree_LRD(tree.right);
            //输出节点值
            Console.Write(tree.data + "\t");
        }

        //按层遍历
        public void BinTree_Level<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            if (tree == null)
                return;
            //申请保存空间
            ChinaTree<T>[] treelist = new ChinaTree<T>[100];

            int head = 0;
            int tail = 0;
            //存放数组
            treelist[tail] = tree;

            //循环链中计算tail的位置
            tail = (tail + 1) % 100;
            while (head != tail)
            {
                var tempNode = treelist[head];
                head = (head + 1) % 100;
                //输出节点
                Console.Write(tempNode.data + "\t");

                //如果左子树不为空 则将左子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.left != null)
                {
                    treelist[tail] = tempNode.left;
                    tail = (tail + 1) % 100;
                }
                //如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置
                if (tempNode.right != null)
                {
                    treelist[tail] = tempNode.right;
                    tail = (tail + 1) % 100;
                }
            }

        }

        //清空二叉树
        public void BinTreeClear<T>(ChinaTree<T> tree)
        {
            //递的结束点，归的起始点
            if (tree == null)
                return;
            BinTreeClear(tree.left);
            BinTreeClear(tree.right);
            //在归的过程中，释放当前节点的数据空间
            tree = null;

        }



    }
}

运行图：