1748:约瑟夫问题
总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB 描述 约瑟夫问题:有n只猴子,按顺时针方向围成一圈选大王(编号从1到n),从第1号开始报数,一直数到m,数到m的猴子退出圈外,剩下的猴子再接着从1开始报数。就这样,直到圈内只剩下一只猴子时,这个猴子就是猴王,编程求输入n,m后,输出最后猴王的编号。 输入 每行是用空格分开的两个整数,第一个是 n, 第二个是 m ( 0 < m,n <=300)。最后一行是: 0 0 输出 对于每行输入数据(最后一行除外),输出数据也是一行,即最后猴王的编号 样例输入 6 2 12 4 8 3 0 0 样例输出 5 1 7
约瑟夫问题的递推公式是f[1]=0,f[i]=(f[i-1]+m)mod i。不过是一个“数据结构之指针和链表”里面的问题,所以还是先用链表和指针解决。因为要移除中间元素,所以需要一个双向链表,这里用一个数组来模拟:
1、构建结构和数组:
struct node{ int id; node *pre; node *next; }lst[302];
2、初始化数组元素的id:
for(m=1;m<=302;m++){ lst[m].id=m; }
3、初始化数组元素的指针:
for(i=1;i<=n;i++){ lst[i].next=&lst[i+1]; lst[i].pre=&lst[i-1]; } lst[n].next=&lst[1]; lst[1].pre=&lst[n];
4、查询需要删除的元素,直到当前元素和下一个元素都指向同一个元素:
node *cur=&lst[1]; while(cur->next!=cur){ for(i=2;i<=m;i++){ cur=cur->next; } cur->pre->next=cur->next; cur->next->pre=cur->pre; cur=cur->next; }
此时,cur->id就是那个猴子王的初始编号。多组数据步骤2只需要进行一次,然后重复步骤3、4就可以了。但无论如何,这种方法的时间复杂度明显大于直接用数学方法进行求解,并且编码也多出很多。完整代码如下:
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; struct node{ int id; node *pre; node *next; }lst[302]; int getking(int n,int m){ int i; //1、设置前后指针 for(i=1;i<=n;i++){ lst[i].next=&lst[i+1]; lst[i].pre=&lst[i-1]; } lst[n].next=&lst[1]; lst[1].pre=&lst[n]; //2、查询 node *cur=&lst[1]; while(cur->next!=cur){ //2.1、向后数到m for(i=2;i<=m;i++){ cur=cur->next; } //2.2、更新前后元素指针和当前数1的 cur->pre->next=cur->next; cur->next->pre=cur->pre; cur=cur->next; } return cur->id; } int main(){ int m,n; //初始化数组里的编号 for(m=1;m<=302;m++){ lst[m].id=m; } //获得输入并求解 cin>>n>>m; while(m!=0 && n!=0){ cout<<getking(n,m)<<endl; cin>>n>>m; } }
然后,我们来考虑一下不模拟报数过程来求解,当一个人出局之后,剩下n-1人继续这个游戏,直到剩余1人。递推:1人时进行这个游戏,他不会出局的,两人呢?剩下的人是下次还能报数的那个,谁下次还能报数?同样,考虑3个人的情况,可以得出递推公式。核心代码如下:
s=0;
for(i=2;i<=n;i++){ s=(s+m)%i;
} cout<<s+1;