24.03.005 线性空间

数域

过去，我们学习过各种数集。如整数集 \(\mathbb Z\)、有理数集 \(\mathbb Q\)、实数集 \(\mathbb R\) 以及复数集 \(\mathbb C\)。考虑在集合上定义集合元素的运算，就得到了数域。

定义 6.1 对于一个数集 \(\mathbb K\)，如果其对加减乘除封闭，则称其为一个数域。如果去掉除法的限制，则称其为一个数环。

例如，形如 \(a+b\sqrt{2},a,b\in \mathbb Q\)，的数构成一个数域，记作 \(\mathbb Q(\sqrt{2})\)。

定理 6.1 任一数域必包含有理数域 \(\mathbb Q\).

引理：\(0\) 和 \(1\) 两个数必须包含在数域中，那么得到所有的整数都在数域里，又可以得到所有有理数都在数域里。故有理数域是最小的数域。

\[\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2} \]

向量

定义 6.2 设 \(\mathbb K\) 是一个数域，\(a_1,a_2,\dots a_n\) 是 \(\mathbb K\) 中的元素，由 \(a_1,a_2\dots a_n\) 组成的有序数组 \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) 称为数域 \(\mathbb K\) 上的一个 \(n\) 维行向量.

其转置 \(\alpha^T\) 为 \(n\) 维列向量，\(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\). 向量相等当且仅当对应位置相等，向量可以看成特殊的矩阵，所以其运算规律也和矩阵一致。这里把行向量乘以列向量称作向量的内积（Inner Product），容易发现向量内积的结果是一个数（\(1\times 1\) 的矩阵）.

线性空间

定义 6.3 广义的线性空间定义

在此定义下得到几个线性空间的例子：

1. \(\mathbb K\) 上的 \(n\) 维（列）向量的集合，记作 \(\mathbb K^n\)。
2. 系数取自 \(\mathbb K\) 的一元多项式集合 \(\mathbb K[x]\)，或者小于等于 \(n\) 次的多项式群体 \(\mathbb K_n[x]\)。
3. 闭区间 \([0,1]\) 上的连续函数全体，记作 \(C[0,1]\)。
4. 数域 \(\mathbb K\) 上 \(m\times n\) 的全题矩阵。
5. 对于数域 \(\mathbb K_1\subseteq \mathbb K_2\)，则 \(\mathbb K_2\) 可看成 \(\mathbb K_1\) 的线性空间，例如 \(\mathbb C\) 是 \(\R\) 的线性空间。

研究抽象线性空间的好处在于把众多不同研究对象的共同特点用线性空间这一概念加以概括，从而扩大了代数学理论的应用范围。下面所有的性质均对线性空间讨论，而非对于普通的向量集合 \(\mathbb K^n\) 的讨论。

牢记线性空间的定义，说明几个例子不是 \(\R\) 上的线性空间：

习题 6.2

（1）\(V\) 是次数等于 \(n\) 的实系数多项式全体，加法和数乘就是多项式的加法和数乘。
（2）\(V\) 是 \(n\) 阶实矩阵全体，数乘就是矩阵的数乘加法定义为 \(A\bigoplus B=AB-BA\)。
（3）\(V\) 是 \(n\) 阶实矩阵全体，数乘就是矩阵的数乘，加法定义为 \(A\bigoplus B=AB+BA\)。
（4）\(V\) 是实数对全体，定义加法为 \((a_1,b_1)\bigoplus (a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1-b_2).\)
（5）\(V\) 是实数对全体，定义加法为 \((a_1,b_1)\bigoplus (a_2,b_2)=(a_1+a_2,0)\)，数乘为 \(k\dot (a,b)=(ka,0).\)

（1）考虑封闭性（2）交换律（3）加法结合律（4）交换律（5）零元和数乘单位元

向量的线性关系

一个 \(m\times n\) 的线性方程组可以写成矩阵方程的形式 \(Ax=b\)，其中 \(A\) 是系数矩阵。将 \(A\) 的最后一列扩充，写下 \(b\) 即可表示为增广矩阵。

分别用向量 \(\alpha_1,\alpha_2\dots \alpha_n,\beta\) 表示上述 \(n+1\) 列，则矩阵方程可以写成向量的形式 \(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\dots +\alpha_nx_n=\beta.\)

定义 6.4 线性组合

\(k_1,k_2,\dots,k_n\in \mathbb K,a_1,a_2\dots a_n\in V\) 是 \(\mathbb K\) 上的线性空间，记 \(k_1a_1+k_2a_2+\dots +k_na_n\) 为其的线性组合。

考虑齐次线性方程组 \(Ax=0\)，我们关心其非平凡解（\(x\ne 0\) 的解）

定义 6.5 线性相关

如果方程组 \(Ax=0\) 由非平凡解，则称 \(a_1,a_2\dots a_n\) 线性相关，否则称其线性无关或线性独立。

例 求证：\(n\) 维标准单位向量线性无关.

根据定义，若 \(k_1e_1+k_2e_2+\dots k_ne_n=0\)，则 \(k=(k_1,k_2,\dots k_n)=\mathbf 0\)。

线性相关的三条定理 定理 6.2~6.4：

• 若 \(A\) 是一组线性相关的向量，则任意包含这组向量的向量组必线性相关；若 $A 是一组线性无关的向量族，其任意非空子集也线性无关。

• 设向量组 \(A\) 是线性空间 \(V\) 中的向量，则 \(A\) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。

• 设 \(a_1,a_2,\dots,a_m,b\) 是线性空间 \(V\) 中的向量，已知 \(b\) 可表示为 \(a\) 的线性组合，则表示唯一的充要条件是向量 \(a_1,a_2,\dots a_m\) 线性无关。

向量组的秩

定义 6.6 在线性空间 \(V\) 中，向量的集合称为向量族，向量的有限集合称为向量组. 设 \(S\) 是向量组，若 \(S\) 中存在一组向量 \(\{a_1,a_2,\dots,a_r\}\) 满足如下条件：

（1）\(a_1,a_2\dots a_r\) 线性无关；
（2）\(S\) 中任意一个向量都可以用其线性组合，则称 \(\{a_1,a_2,\dots,a_r\}\) 是向量族 \(S\) 的极大线性无关组，极大无关组.

显然极大线性无关组并不是唯一的，但是他们的大小的相同的，现在来证明这个结论：

定义 6.7 向量族 \(S\) 的极大无关组所含的向量个数称为 \(S\) 的秩，记作 \(\mathrm r(S)\) 或者 \(\mathrm {rank}(S)\)。

定义 6.8 若向量组 \(A\) 和 \(B\) 可以互相线性表示，则称这两个向量族等价。

定理 6.6 等价的向量组有相同的 \(\mathrm{rank}\)。

找出 \(A,B\) 的极大无关组 \(A_1,B_1\)，再由上述引理即证。

把眼光从某个向量族扩展到一整个向量空间，那么这个极大无关组就是向量空间的基底。

定义 6.9 设 \(V\) 是数域 \(\mathbb K\) 上的线性空间，若再 \(V\) 中存在线性无关的向量 \(e_1,e_2,\dots,d_n\) 使的 \(V\) 中的任一向量均课表示为这组向量的线性组合，则称 \(\{e_1,e_2\,dots,e_n\}\) 是 \(V\) 的一组基，线性空间 \(V\) 称为 \(n\) 维线性空间。（如果不存在幼香阁向量组成 \(V\) 的基底，则称 \(V\) 为无限维线性空间。

如果 \(V\) 是数域 \(\mathbb K\) 上的 \(n\) 维线性空间，则记 \(\mathrm{dim}_{\mathbb K}V=n\).

引理 \(1\) 的逆否命题也十分重要，它表示对于一个 \(n\) 维的线性空间 \(V\)，中的一组向量 \(a_1,a_2,\dots,a_m,m>n\)，必然线性相关。否则考虑基底 \(\{e_1,e_2,\dots,d_n\}\) 可以表示出 \(a_1,a_2,\dots ,a_m\)，但是其线性无关，必有 \(m\le n\)，矛盾。