24.03.003 矩阵

矩阵的概念#

将一个 mn 列长方形数组记作一个 mn 列的矩阵 Am×n。其中 aij 是第 i 行第 j 列的元素。

如果 m=n 则称 A 是一个 n 阶方阵。若一个 n 阶方阵只有对角线上有元素则称这个方阵为对角阵,记作 diag{a11,a22,,ann}

称对角线上全为 1 的矩阵 diag{1,1,,1}=In 为单位矩阵。

矩阵的运算#

加法和数乘对矩阵均为线性的,即为对应位相加或者每一位乘上常数。矩阵关于加法和数乘是一个阿贝尔群,即满足交换律,以及存在单位元 O 矩阵。

矩阵的乘法:Am×n×Bn×s=Cm×s,其中 cij=k=1naikbkj。也就是说两个矩阵相乘,左边的矩阵的列数要与右边的矩阵的行数相等。

容易发现矩阵运算不满足交换律,也不一定有逆元存在。事实上,只有方阵可能有逆元存在。

更多内容可以参考这篇笔记

证明1

例 判断 AB=AC,AO 能否推出 B=C

答案是否定的,矩阵和非零阵相乘也可以得到零矩阵。

对于方阵,定义其乘方(幂)为 Ak=AAAkA).

方阵幂满足 ArAs=Ar+s,(Ar)s=Ars.

定义 转置和共轭

矩阵 A=a(ij)m×n,定义其转置为 A 或者 AT,满足其为 n×m 的矩阵且 aij=aji

乘法与转置结合时,我们得到 (AB)T=BTAT,从矩阵大小上看没有问题,从数值上来看:

(AB)ijT=k=1najkbki(BTAT)ij=k=1nbkiajk

两者完全等价。

A=A 则称 A 为对称阵,若 A+A=0,则称 A 为反对称阵。

有关复数矩阵以及共轭矩阵的内容可以参考这篇笔记

习题 求证下面命题:

(1)设 A,Bn 阶对称阵,则 AB 为对称阵的充分必要条件是 AB=BAAB 为反对称阵的充分必要条件是 AB=BA
(2)设 A 是对称阵,B 是反对称阵,则 AB 为反对称阵的充要条件是 AB=BAAB 为对称阵的充分必要条件是 AB=BA

证明 (1)AB=AB=(BA),若 AB=BAAB=(AB),若要 AB=(AB) 则有 (AB)=(BA)AB=BA。反对称阵同理。(2)AB=A(B)=AB=(BA) 如果 AB=BA,则 AB+(AB)=OAB 为反对称矩阵,反之亦然。

习题 给出对角阵 diag{a1,a2,,an} 和对角阵 diag{b1,b2,,bn} 的结果。

显然为 diag{a1b1,a2b2,,anbn}.

习题 求证下面两个命题:

(1)与所有 n 阶对角阵乘法可交换的矩阵也必是 n 阶对角阵;(2)与所有 n 阶矩阵乘法可交换的矩阵式形如 kIn 的对角阵(这称为纯量阵 scalar matrix)。

证明 (1)记 A 满足和任意 n 阶对角阵乘法可交换。考虑所有单位阵 Ei,代表只有第 eii=1,其余位置上的值为 0EiA 代表保留第 i 行,AEi 代表保留第 i 列。要使得 AEi=EiA,则必须有 aij=0,ij。(2)显然纯量阵满足要求,假设 A 满足要求,考虑所有对角阵 D,要求 DA=AD,则 A 也必须是一个对角阵。再考虑第二类初等行变换矩阵 Pij,左乘 PijA 代表交换两行,右乘 APij 代表交换两列,所以对角线上的元素必须全部相等。

逆矩阵#

定义An 阶方阵,若存在一个 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=In,则陈 BA 的逆矩阵,记作 B=A1,所有右逆矩阵的矩阵称为非奇异矩阵。

矩阵是有交换律的,所以这里必须要定义两侧的乘法。接下来我们可以证明从一侧可以推出另一侧.

定理 矩阵的逆元若存在,则唯一。

证明 假设 A 有两个逆矩阵 B,C 满足 AB=AC=In,则有 B=B(AC)=(BA)C=C,故逆元唯一。

下面讨论矩阵求逆的几条规则:

提醒:(AB)1=B1A1,容易推广到 (A1A2Ak)1=Ak1Ak11A11.

通过伴随矩阵求逆矩阵,记 A 或者 adjAA 的伴随矩阵 [A11A21An1A1nA2nAnn],也就是普通代数余子式矩阵的转置。

方阵与伴随阵的乘积为对角线值为行列式的纯量矩阵:AA=AA=|A|I

证明:(AA)ij=k=1naikAjk,如果 ij,这相当于把原行列式的第 j 行换成第 i 行,显然这个行列式的值为 0。而当 i=j 时就是行列式的按某一行展开。

接下来 A(AdetA)=In,故 A1=AdetA.

用逆矩阵求解 n 阶线性方程组变得异常简单,Ax=bx=A1b.

n 阶方阵 A 满足 A2=In 则称为对合阵,设 A 是对合阵且 In+A 是非奇异阵,求证 A=In.

由题知 A+In=A+A2=A(A+In),由于 A+In 可逆,故可以约去,得到 A=In.

A,B 以及 A+B

矩阵的初等变换与初等矩阵#

矩阵乘积的行列式#

引理 2.5.1 设 $$

初等变换法求逆矩阵#

A 可逆,则一定可以化成单位矩阵,

det(AB)=detAdetB

证明2

  • 利用矩阵乘积求行列式
posted @   Semsue  阅读(15)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 清华大学推出第四讲使用 DeepSeek + DeepResearch 让科研像聊天一样简单!
· 推荐几款开源且免费的 .NET MAUI 组件库
· 实操Deepseek接入个人知识库
· 易语言 —— 开山篇
· Trae初体验
Title
点击右上角即可分享
微信分享提示
主题色彩