24.03.003 矩阵
矩阵的概念#
将一个 行 列长方形数组记作一个 行 列的矩阵 。其中 是第 行第 列的元素。
如果 则称 是一个 阶方阵。若一个 阶方阵只有对角线上有元素则称这个方阵为对角阵,记作 。
称对角线上全为 的矩阵 为单位矩阵。
矩阵的运算#
加法和数乘对矩阵均为线性的,即为对应位相加或者每一位乘上常数。矩阵关于加法和数乘是一个阿贝尔群,即满足交换律,以及存在单位元 矩阵。
矩阵的乘法:,其中 。也就是说两个矩阵相乘,左边的矩阵的列数要与右边的矩阵的行数相等。
容易发现矩阵运算不满足交换律,也不一定有逆元存在。事实上,只有方阵可能有逆元存在。
例 判断 能否推出 。
答案是否定的,矩阵和非零阵相乘也可以得到零矩阵。
对于方阵,定义其乘方(幂)为 ( 个 ).
方阵幂满足 .
定义 转置和共轭
矩阵 ,定义其转置为 或者 ,满足其为 的矩阵且 。
乘法与转置结合时,我们得到 ,从矩阵大小上看没有问题,从数值上来看:
两者完全等价。
若 则称 为对称阵,若 ,则称 为反对称阵。
有关复数矩阵以及共轭矩阵的内容可以参考这篇笔记。
习题 求证下面命题:
(1)设 是 阶对称阵,则 为对称阵的充分必要条件是 , 为反对称阵的充分必要条件是 。
(2)设 是对称阵, 是反对称阵,则 为反对称阵的充要条件是 , 为对称阵的充分必要条件是 。
证明 (1),若 则 ,若要 则有 。反对称阵同理。(2) 如果 ,则 , 为反对称矩阵,反之亦然。
习题 给出对角阵 和对角阵 的结果。
显然为
习题 求证下面两个命题:
(1)与所有 阶对角阵乘法可交换的矩阵也必是 阶对角阵;(2)与所有 阶矩阵乘法可交换的矩阵式形如 的对角阵(这称为纯量阵 scalar matrix)。
证明 (1)记 满足和任意 阶对角阵乘法可交换。考虑所有单位阵 ,代表只有第 ,其余位置上的值为 , 代表保留第 行, 代表保留第 列。要使得 ,则必须有 。(2)显然纯量阵满足要求,假设 满足要求,考虑所有对角阵 ,要求 ,则 也必须是一个对角阵。再考虑第二类初等行变换矩阵 ,左乘 代表交换两行,右乘 代表交换两列,所以对角线上的元素必须全部相等。
逆矩阵#
定义 设 是 阶方阵,若存在一个 阶方阵 使得 ,则陈 是 的逆矩阵,记作 ,所有右逆矩阵的矩阵称为非奇异矩阵。
矩阵是有交换律的,所以这里必须要定义两侧的乘法。接下来我们可以证明从一侧可以推出另一侧.
定理 矩阵的逆元若存在,则唯一。
证明 假设 有两个逆矩阵 满足 ,则有 ,故逆元唯一。
下面讨论矩阵求逆的几条规则:
提醒:,容易推广到 .
通过伴随矩阵求逆矩阵,记 或者 为 的伴随矩阵 ,也就是普通代数余子式矩阵的转置。
方阵与伴随阵的乘积为对角线值为行列式的纯量矩阵:。
证明:,如果 ,这相当于把原行列式的第 行换成第 行,显然这个行列式的值为 。而当 时就是行列式的按某一行展开。
接下来 ,故
用逆矩阵求解 阶线性方程组变得异常简单,
若 阶方阵 满足 则称为对合阵,设 是对合阵且 是非奇异阵,求证 .
由题知 ,由于 可逆,故可以约去,得到 .
设 以及
矩阵的初等变换与初等矩阵#
矩阵乘积的行列式#
引理 2.5.1 设 $$
初等变换法求逆矩阵#
若 可逆,则一定可以化成单位矩阵,
- 利用矩阵乘积求行列式
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