24.01.005 Complex Vectors and Matrices

复数和复平面

代数/几何表示

形如 \(z=a+bi\)，\(i^2=-1\) 的数，或者写成 \(e^{}\)

Conjugate 共轭，\(z+\bar{z}=2Re(z),z-\bar{z}=2Im(z)\)。

\(z=a+bi\) 对应复平面上的点 \((a,b)\)。

模（绝对值）\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}=z\bar{z}\)，表示复平面向量的长度。

• 对于一个实矩阵 \(A\)，若其有特征值和特征向量 \(\lambda,x\)，则 \(\bar{\lambda},\bar{x}\) 也是其特征值和特征向量。

极坐标（polar）形式

用模长和角度表示复数：\(z=r\cos \theta+ir\sin\theta =re^{i\theta}\)（euler 公式）。

棣莫弗公式

\(z^{n}=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\)。

厄米特矩阵和酉矩阵（幺正矩阵）

共轭转置（Conjugate transpose）：共轭矩阵的转置，记作 \(C^{H}\) 或者 \(C^{\dagger}\)，读作 \(A\) Hermitian。

复向量 \(z\) 的模长可以表示为 \(\sqrt{zz^{\dagger}}\)，即 \(\sqrt{zz^{\dagger}}=\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^{2}+\dots+|z_n|^2}\)。

Hermitian matrices \(S = S^{\dagger}\). The condition on the entries is \(S_{ij} = \bar{S_{ji}}\)。