线性代数基础
本文内容非常初等，oiwiki 中有很多优化递推的应用，这里不讲。
基础知识
来不及了，先凑活一下吧。
解方程
线性代数很大一部分在干的事就是解方程，对于一个方程组，我们可以写成 \(Ax=b\) 的形式。其中 \(A\) 是系数矩阵，\(x,b\) 是向量。
高斯消元
初等行列变换 把一行的某个倍数加到另一行上。
而我们高斯消元的过程，就是消成上三角矩阵。
线性基
一组线性无关的向量，可以构造出线性空间。
异或线性基是比较常考的一个，具体来讲，对于每个 \(2\) 的幂次，记一个数表示这一位的基底。
图上随机游走
在平面直角坐标系上，有一个神奇的点，一开始在 \((0, 0)\) 。每秒钟这个点都会随机移动：如果它在 \((x, y)\) ，下一秒它在 \((x - 1, y)\) 的概率是 \(p_1\) ，在 \((x, y - 1)\) 的概率是 \(p_2\) ，在 \((x + 1, y)\) 的概率是 \(p_3\) ，在 \((x, y + 1)\) 的概率是 \(p_4\) 。保证 \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\) ，各次移动互不关联。
求出这个点移动至距离原点距离为大于 \(R\) 的点的期望步数。距离为欧几里得距离。
容易列出方程 \(f_{x,y}=1+\sum_{i=0}^{3}p_if_{x+dx_i,y+dy_i}\)。状态数是 \(O(R^2)\)，直接暴力消元是 \(O(R^6)\) 的。
- band matrix
如果我们按照行列顺序编号，每行有值的部分只能是 \(O(R)\) 的区域（虽然只有四个位置有值）。那么我们可以用一些技巧去消元。
定理 对 band 长度为 \(O(d)\) 的矩阵消元可以在 \(O(nd^2)\) 的时间复杂度内解决。
具体来讲，我们每次消元只往下消 \(d\) 行，往右消 \(2d\) 列，结合代码很好理解。
// Froggy 的实现
void Guass(int n,int band,double *ans){
for(int i=1;i<=n;++i){
if(fabs(g[i][i])<eps){
for(int j=i+1;j<=min(n,i+band);++j){
if(fabs(g[j][i])>eps){
for(int k=i;k<=min(n,i+2*band);++k){ //换元
swap(g[i][k],g[j][k]);
}
break;
}
}
}
if(fabs(g[i][i])<eps)continue;
for(int j=i+1;j<=min(i+band,n);++j){ //往下消d行
double div=g[j][i]/g[i][i];
for(int k=i;k<=min(i+2*band,n);++k){ //往右消2d列
g[j][k]-=div*g[i][k];
}
g[j][n+1]-=div*g[i][n+1]; //把最后一列也消一下
}
}
for(int i=n;i>=1;--i){ //回带求最后答案
ans[i]=g[i][n+1];
for(int j=i+1;j<=min(i+2*band,n);++j){
ans[i]-=g[i][j]*ans[j];
}
ans[i]/=g[i][i];
}
}
- 主元法
将方程移项，得到：
注意到只和 \(<i\) 或者 \(<j\) 的部分有关，故我们可以只设最左侧的点位未知数，然后递推出右侧的点。用最右侧外围一圈的点列方程。这样复杂度是 \(O(R^3)\)。
注意每个方程都必须有意义，这样才能保证正确性。
主元法可以用在很多地方，只要存在转移的偏序关系，即可设计主元。
行列式
对于一个 \(n\) 阶矩阵，其行列式被定义为 \(|A|=\prod_{\sigma\in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod a_{i,\sigma_i}\)。其中 \(S_n\) 是所有 \(n\) 阶排列，\(\text{sgn}(\sigma)\) 是 \(-1\) 的 \(\sigma\) 的逆序对数次方。
定理 将 \(i\) 行加上 \(j\) 行的 \(k\) 倍行列式不变，\(i\) 列同理。
将行列式展开，容易得到这样操作会被抵消掉。
定理 将 \(i\) 行乘以 \(k\)，行列式的值会乘以 \(k\)。
还是根据定义式，第 \(i\) 行的值都会 \(\times k\)。
定理 交换两行，行列式取反。
根据逆序对的定义得证。
据此，我们可以使用高斯消元求行列式，将矩阵消成上三角矩阵，对角线上的乘积就是行列式的值。
性质 柯西比内公式：\(|AB|=|A||B|\)。
根据高斯消元显然得证。
给定参数 \(q_i,h_i\)。对于一个排列 \(p\) ，定义 \(v(p)=\sum_{i<j}[p_i>p_j]+[p_i+h_i>q_j]\)，求有多少个 \(v(p)\) 是偶数。
看到排列、逆序对、奇偶性，就想行列式。然后有一个套路求偶数个数即 \(\frac{(-1)^{v(p)}+1}{2}\)。于是令矩阵 \(A_{i,j}=(-1)^{\sum_{k>i}[j+h_i>q_k]}\) 的行列式即可。
范德蒙德行列式
定义百度
直接记结论 \(\prod_{i\ne j}(x_i-x_j)\)。
循环矩阵行列式
定义百度
直接记结论 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_{i+1}x^i\)，则 \(\det A=\prod_{i=0}^{n-1}f(w^i)\)，其中 \(w\) 是 \(n\) 阶单位根，可以用原根代替。然后如果 \(n\) 不是 \(2\) 的次幂可以 Chirp Z-transform，但这先咕咕。
矩阵树
矩阵树定理 对于一个无向图 \(G\)，它的生成树个数为：度数矩阵减去邻接矩阵删
去第 \(i\) 行 \(i\) 列的行列式。
矩阵树定理的有向形式 对于一个有向图 \(G\)，它的以 \(i\) 为根的外向生成树个数为：入度矩阵减去边矩阵删去第 \(i\) 行 \(i\) 列的行列式。类似地，它的以 \(i\) 为根的内向生成树个数为：出度矩阵减去边矩阵删去第 \(i\) 行 \(i\) 列的行列式。
变元矩阵树定理 定义边权为 \(w(u_i,v_i)\)，则矩阵树定理求得的是 \(\sum_{T}\prod_{i\in T}w(u_i,v_i)\)。
肯定先欧拉反演一下，然后就变成了求所有生成树的边权和。将边设为 \((1+w_ix)\)，那么我们最后就是要求 \(\prod_{i}(1+w_ix)\) 的 \(x\) 前面的系数。然后只维护一个 \(2\) 阶行列式即可。
伴随矩阵
\(M_{i,j}\) 是去掉 \(i\) 行 \(j\) 列的行列式，称作余子式。\(A_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}\) 是代数余子式。
\(A^{*}\) 是由代数余子式的矩阵，称作伴随矩阵。
定理 当 \(A\) 满秩时 \(A^*=|A|A^{-1}\)。
欧拉图相关计数
BEST定理 对于一个出度=入读的有向图，其欧拉路个数为 \(T(x)\prod (deg_u-1)!\)，其中 \(T(x)\) 是 \(x\) 的外向树个数。
LGV
对于图 \(G\) 和起点终点集合 \(S,T\)。有 \(S,T\) 组合的不交路径数等于路径条数矩阵的行列式。具体来讲 \(A_{i,j}\) 等于 \(i\to j\) 的路径条数。
