Codeforces Global Round 14

这场貌似很典很好啊。

A. Phoenix and Gold#

给定一个长度为 $n$ 的数组 $w$ 和一个数 $x$，数组中的数各不相同，要求重新排列这个数组，使得对于每一个 $i$ $(1 \le i \le n)$，都有 $\sum\limits_{j = 1}^{i}w_j \ne x$。

从小到大排序，如果存在 $i$ 使得数列不满足条件那这样的 $i$ 一定只有一个，如果 $i$ 不在最后，直接和最大值交换位置即可。否则显然无解。

B. Phoenix and Puzzle#

输入一个数 $n (1 \le n \le 10^9)$，求能否使用 $n$ 个全等的等腰直角三角形来拼成一个正方形。要求每个三角形都必须使用。

好像除了样例给出的两种拼法外别无他法，于是只用判断除以 $2$ 或者 $4$ 是否是完全平方数即可。

C. Phoenix and Towers#

凤凰菲克斯有 $n$ 个方块，分别高 $h_1,h2,\dots,h_n$，所有 $h_i$ 都不超过 $x$ 。他计划将 $n$ 个方块堆叠成 $m$ 座塔。为了让塔看起来更漂亮，没有两座塔的高度差可以超过 $x$ 。

请帮助菲克斯建造 $m$ 座漂亮的塔，每个塔必须至少由一个方块构成，并且必须使用所有方块。

一个很自然的想法是小的和大的匹配去平衡这个高度。试一下发现确实可以。那么容易得出下面的做法：

给所有方块排序，取前 $2m$ 个，第 $i$ 小和第 $2m-i+1$ 小匹配。然后我们给 $m$ 个塔全部减去最小值，变成新的方块，其还满足高度 $\le x$。再做刚才的事情，复杂度线性对数。直到不足 $2m$ 个停止这个过程。

一个等价的实现，维护 $m$ 个塔，每次取出 $m$ 个块，然后倒着加进去。

D. Phoenix and Socks#

Phoenix 有 $n$ 只袜子（保证 $n$ 为偶数），其中前 $l$ 只左袜子，后面 $r$ 只右袜子，$l+r=n$。每只袜子有颜色 $c_i$ （$1 \le c_i \le n$） 。

现在你有三个操作，每个操作代价为 $1$：

1.将某只袜子颜色换为 $c'$。

2.将左袜子变为右袜子

3.将右袜子变为左袜子

求使所有袜子匹配成 $\frac n2$ 对袜子（即，颜色相同，且左右袜子各一）的代价。$1\le n\le 2\times 10^5$。

注意没双袜子不需要左前右后。

先把每种颜色的左右袜子配对。思考只有颜色不同，类型相同时需要两步，尽量不要用这种。于是优先匹配颜色不同，类型不同的袜子。而颜色相同类型相同的袜子也可以只要一步，所以优先把不同颜色袜子都搞成偶数最好。

E. Phoenix and Computers#

给定 $n$，$M$。你有 $n$ 台电脑排成一排，你需要依次开启所有电脑。

你可以手动开启一台电脑。在任意时刻，若电脑 $i-1$ 与电脑 $i+1$ 都已经开启 $(1<i<n)$，电脑 $i$ 将立刻被自动开启。你不能再开启已经开启的电脑。

求你有多少种开启电脑的方案。两个方案不同当且仅当你手动开启的电脑的集合不同，或是手动开启电脑的顺序不同。答案对 $M$ 取模。

先思考什么样的集合合法？首先 $1$ 和 $n$ 必须手动打开，两个手动打开的电脑之间不能有超过 $1$ 台没有打开的电脑。思考对于一个连续段的方案数，根据样例的提示，只能是手动打开中间的一个，然后往两边扩展。

直接算似乎没什么办法，还是得递推，设左边需要 $i$ 步，右边需要 $j$ 的方案数是 $f_{i,j}$，似乎有很简单的递推式 $f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1}$。而边界条件是 $f_{i,0}=f_{0,i}=1$。可以格路计数但是这题不需要。

然后长度为 $n$ 的连续段就可以 $O(n)$ 计算了。考虑对整个序列 dp，需要记录已经放了多少个，然后在枚举这一步放了多少个即可复杂度 $O(n^3)$。

F. Phoenix and Earthquake#

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图和正整数 $x$，点有非负权值 $a_i$。

如果一条边 $(u,v)$ 满足 $a_u+a_v \ge x$，可以将 $u,v$ 缩起来，新点的点权为 $a_u+a_v-x$。

判断这张图是否可以缩成一个点。如果是，还要输出每次缩的是哪条边。

$2 \le n \le 3 \cdot 10^5,n - 1 \le m \le 3 \cdot 10^5,1 \le x \le 10^9,0 \le a_i \le 10^9$

靠又忘记了这种题怎么做了。

先找找反例，合并至少发生 $n-1$ 次，所以如果 $\sum a_i<(n-1)x$，那么一定不行。看到 $n-1$，想到树的情况。或者看到一张图就应该想到合并一棵生成树即可。

然后，这不是和 NOI2020 制作菜品 一模一样吗？

G. Phoenix and Odometers#

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，有边权，进行 $q$ 次询问（$n,m,q\le 2\times 10^5$，边权为不超过 $10^9$ 的正整数）。

每次询问给定三个参数 $v,s,t(0\le s<t\le 10^9)$，你需要回答是否存在一条起点终点均为 $v$ 的路径，满足 $\text{路径长}+s\equiv 0\pmod t$。

就是对 scc 进行处理，你可以走若干个环，根据 bezout 定理，就是求所有环和 $t$ 的 $\gcd$ 是不是整除 $s'$。而在 scc 中环长有一个经典结论就是你只用处理横叉和返祖边，理由是辗转相见。