Codeforces 经典场

经典波兰球场

A. PolandBall and Hypothesis#

其实就是让你判断一下质数，直接暴力就行。

B. PolandBall and Game#

先把都有的说完，然后判断谁的集合更大即可。

C. PolandBall and Forest#

树的直径

D. PolandBall and Polygon#

根据欧拉公式 $V-E+F=2$，算出 $V,E$ 是容易的，所以就可以算 $F$ 了。

E. PolandBall and White-Red graph#

简单画一下发现 $k=1,k>3$ 均无解。

• $k=2$ 时

$n\le 3$ 时无解，否则只要有一个点没有全部和其他选上即可。

• $k=3$ 时

PolandBall and Gifts#

• 最多比较简单

就是置换环隔着选。

• 最少

一个长度为 $k$ 的环如果选了 $x<k$ 个人，那不如选 $x+1$ 个人。于是每个环都尽量选上，直接背包即可。

G. PolandBall and Many Other Balls#

经典倍增FFT题。

写出dp的转移式子 $f_{i,j}$ 代表前 $i$ 个球取出 $j$ 组的方案数，$f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1}$。写成生成函数的形式 $F_{i}=(1+x)F_{i-1}+x^2F_{i-2}$，多项式乘法+快速幂即可。

你还可以算通项以及ODE暴解递推式。

CF1149#

C. Tree Generator™#

容易发现树上一条路径一定形如 ))...)((...(。也就是对于任意子段，去掉匹配了的括号后还剩下的部分。而这个东西还是不太好表示，我们有如下引理：

这个值等于 $\max\limits_{k=l}^{r-1}s_{k+1,r}-s_{l,k}$，其中 $s_{i,j}$ 代表把 ( 看成 $1$，) 看成 $-1$ 后区间 $[i,j]$ 的和。

证明 一定可以找到最后一个 )，当 $k$ 取到这个位置时 $s_{k+1,r}-s_{l,k}$ 显然就是答案。接下来证明这个值是最大的。在这个体系里面所有被匹配掉的括号贡献都是 $0$，最后没被匹配掉的括号，$k$ 往左往右都会变小，得证。

那么现在就是要求 $\max\limits_{l,r} \max\limits_{k\in [l,r)}s_{k+1,r}-s_{l,k}$，即 $\max\limits_{l,k,r}s_{k+1,r}-s_{l,k}$。类似最大子段和，这个也可以用线段树来维护。

简单分类讨论 $k$ 是取在区间中点的左边还是右边即可。

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D. CF1149D Abandoning Roads#

难得自己想出来一道 3000 分的题，虽然说考试的时候打挂了...

首先先对较小的边缩点，然后求连通块内的最短路。显然，连通块内其实想怎么走就怎么走，但不能走较大的边。

然后不同连通块用较大的边连起来，就完事了？你发现较大的边走起来必须是一条链，也就是不能回到之前存在过连通块，比如说 $1\to 2\to 3\to 4$ 边权都是 $3$，而 $1\to 5\to 4$ 的边权都是 $4$，这时走外面一圈会更短但是这不符合条件。

所以我们有一个暴力的思路，状压连通块。连通块的个数是 $O(n)$ 的，仔细观察数据范围 $n\le 70$。然后发现只有一个点的连通块显然不用压，只有两个的也显然不用压，于是就只有 $70/3=23$ 个连通块。

还是太多，观察三个点的连通块，由于 $a<b$，所以其实也一定不会走出去再走回来，所以也不用压，于是要压的点只有 $70/4=17$ 个了。最后跑最短路转移（类似最小斯坦纳树）即可。复杂度 $O(2^{n/4}m\log m)$。

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E. Election Promises#

神仙博弈题。首先如果没有第二个操作就是一个很简单的有向图博弈，设 $val_u$ 代表所有 $u\to v$ 的 $val_v$ 的 $mex$。$s_x=\bigoplus_{val_u=x} h_u$。结论：如果存在 $s_x\ne 0$ 那么先手有必胜策略。

证明 可以说明如果不存在 $s_{x}\ne 0$，那么下一步操作一定存在 $s_x\ne 0$，否则下一步操作一定可以让 $s_{x}$ 都为 $0$。而最后的必败态的 $s_x$ 显然全为 $0$，所以先手显然可以让后手进入必败态。

构造方案如下：找到一个最大的 $s_x=0$ 的 $x$，然后找到一个可以减小的 $u$，再把其出边都搞一遍，由于这是最大的，所以他的出边遍历所有 $x$。

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