网络流和图匹配

这次不作为杂谈了，，，简直是大工程

图的匹配

网络流

考虑用一种新的顺序来讲网络流，本文长文警告。网络流的重点在于如何把一个问题建模成网络流的问题，然后再根据图的性质来选择合适的算法。

流

网络是一个有向图 $G=(V,E)$，每条边有一个流量限制 $c(u,v)$，即流过这条边的流不能超过这个限制。其中有两个特殊的点，源点 $s$ 和汇点 $t$。其中 $s$ 有无限的流流入，$t$ 可以接受无限的流。

流是一个函数 $f(u,v)$ 满足 $f(u,v) \le c(u,v)$，$f(u,v)=-f(v,u)$，$\sum f(u,x)=\sum f(x,v)$。记 $d_u=\sum_{(v,u)\in E}f(u,v)-\sum_{(u,v)\in E}f(u,v)$，若 $d$ 全为 $0$，则称这条流是循环流。否则存在 $d_s=-d_t\ne 0$，且其他都是 $0$。

我们称最大的一组 $d$ 的和的 $f$ 集合为 $s-t$ 最大流。如果边带权，没流过 $1$ 流浪，需要 $w(u,v)$ 的费用，则称在满足流量最大的情况下，

增广路是指一条 $f(u,v)>0$ 且 $f(u,v)<c(u,v)$ 的从 $s$ 到 $t$ 的路径。定理：如果不存增广路，则当前流是一个最大流。

最大流增广路算法（EK 算法）：考虑依次加入一条增广路使得不存在增广路，在加入增广路的时候需要维持反向边的流量。