最值分治生成树

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额...只不过是因为刷题赛里出现了两道笛卡尔树，所以特意从新拿出来审视了一遍。

今天晚上要 Hello 2023，所以可能更没有时间补那道多项式了qwq。

至于线段树，那又只能明天学了/bai

笛卡尔树#

定义：满足堆性质的二叉搜索树，也就是常用的 Treap。

性质：中序遍历是原序列；父亲的权值比儿子小（以小根堆为例）

如果这是一个全序关系，那么这个笛卡尔树是唯一的。

建树：

笛卡尔树可以通过单调栈 $O(n)$ 构建。具体伪代码如下：

view code

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    while (top > 0 && a[stk[top]] > a[i]) ls[i] = stk[top--];
    if (top) rs[stk[top]] = i;
    stk[++top] = i;
}

例 1 洛谷P5854【模板】笛卡尔树

https://www.luogu.com.cn/problem/P5854

给定一个 $1 \sim n$ 的排列 $p$，构建其笛卡尔树。

模板题。

随机笛卡尔树的树高是 $O(\log n)$ 的，其实是调和级数。

例 2 AGC028B Removing Blocks

https://www.luogu.com.cn/problem/AT_agc028_b

有 $N$ 个数，每个数有一个全会 $A_i$。进行 $N$ 次操作，每次操作选择一个数删掉，代价是所有和其连通的没被删掉的数的权值和，求所有 $N!$ 种删数方法的代价和。

考虑对删除序列建小根堆笛卡尔树，那么每个点的贡献即为子树中 $a$ 的和。转换为每个点贡献是 $a_i\times dep_i$，那么所求即为期望深度。根据前几天平衡树的那个证明，可以发现这个期望深度应该是 $\sum_{j=1}^{x-1}\frac{1}{x-j+1}+\sum_{j=x+1}^{n}\frac{1}{j-x+1}+1=H(i)+H(n-i+1)-1$。$H(n)=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}$。这样就可以 $O(n)$ 计算了。

例 3 RMQ Similar Sequence

Petrozavodsk Summer 2018. Day 4. Xi Lin Contest

http://qoj.ac/problem/242

给定序列 A，序列 B 的每个元素在 $[0,1]$ 之内随机（实数），B 的价值是，当 B 和 A 的笛卡尔树同构时为元素和，否则是 $0$。求 B 的价值的期望。定义值相同时排在前面的更大。

由于是在实数中随机，所以两个数相等的概率是 $0$，那么可以假设 B 是一个排列，一个排列与 A 的笛卡尔树同构，其实就是拓扑序相同，那么 B 的个数就可以算出了。即为 $\frac{n!}{\prod sz_i}$ 在 $[0,1]$ 中随机一个数的期望是 $\frac{1}{2}$，所以 $n$ 个数的和的期望就是 $\frac{n}{2}$ 用这个值去乘上排列的个数即可得到答案。
code

有关深度的计数，以及一些和深度有关的结论。

例 4 CF1220F Gardener Alex

https://codeforces.com/problemset/problem/1220/F

给定长度为 $n$ 的排列，可以将前 $i$ 个元素移动到最后，所有可能的排列的小根笛卡尔树的最大深度的最小值。

考虑对于两个位置 $i,j$，什么时候 $j$ 是 $i$ 的祖先，也就是 $\min_{\min(i,j)\le k\le \max(i,j)}p_k=p_{j}$ 的时候。那么这道题，我们就可以模拟移动的过程，每次找到第一个大于他的位置，然后前面的位置都可能被贡献到，用一个线段树来维护即可。code

例 5 USACO19DEC Tree Depth P

https://www.luogu.com.cn/problem/P5853

对每个数求出所有逆序对数是 $k$ 的长度为 $n$ 的排列的笛卡尔树上的深度和，深度定义为根到它的点数。

有一个算逆序对的方法，是按顺序从小到大加入，那么这样每次可以贡献的逆序对数刚好从 $0$ 到 $i$，那么就相当于卷上一个 $\sum_{j=0}^{i-1}x^j$ 这样的 OGF。最后答案就是 $[x^{k}]\prod_{i=1}^{n} \frac{1-x^{i}}{1-x}$。那么回到这道题，根据上一题的结论，考虑 $u,v$ 两个点什么时候 $v$ 是 $u$ 的祖先，那么就是 $v$ 是 $[\min(u,v),\max(u,v)]$ 这个区间中最小的数。

当 $u<v$ 的时候，按照 $u,u+1,\dots,v,u-1,\dots,2,1,v+1,v+2,\dots,n$ 的顺序填数，否则我们按照 $u,u-1,\dots,v,u+1,u+2,\dots,n-1,n,v-1,v-2,\dots,2,1$ 的顺序填数，容易发现这样的效果和之前是一样的，唯一不同的是 $v$ 这个位置的逆序对数是确定的，不能算进贡献。$u<v$ 时多贡献的逆序对数是 $v-u$，否则是 $0$，然后 $|u-v|$ 这个 OGF 也不用贡献进答案。

那么就有了一个做法，枚举所有 $|u-v|$，用多项式除法（回退背包），把这一项的贡献消除，然后枚举所有 $u$，找到这一项 $v$ 的贡献。

暴力实现多项式乘法+除法，总的复杂度是 $O(n^3)$。code

例 6 HDU6854 Kcats

前缀 $i$ 的单调栈大小，即 $i$ 号节点在全局的笛卡尔树上对应的位置的所有在左边的祖先个数，考虑dp，设 $f[l][r][d]$ 代表区间 $[l,r]$ 的笛卡尔树的根的左边祖先有 $d$ 个的方案数。

转移即枚举最小值的位置 $p$，然后从 $f[l][p-1][d]\times f[p+1][r][d]\times \binom{r-l}{p-l}$ 转移。

复杂度 $O(n^4)$，比较卡常，建议参考代码的卡常技巧。code

以 $u$ 为根的笛卡尔树，代表一段区间，区间最小值是 $u$ 上的值。区间 $[a,b]$ 的最小值是 $lca(a,b)$ 上的值。所以当遇到区间 rmq 作为要求/条件/所求的时候不妨想一想笛卡尔树。

例 7 Periodni

https://www.luogu.com.cn/problem/SP3734

给定一个网格图，第 $i$ 高度为 $a_i$。往网格里填 $k$ 个数，同一列不能填两个数，同一行不能填两个数。如果中间有断开则不算同一行，问方案数。

要求即为对于同一行的数，放在高度 $h$ 的位置，那么 $\min_{i}^{j}a_i<h$。看到这个区间最小值想到小根堆笛卡尔树，建出笛卡尔树后就是一个树形背包问题，然后转换为在 $n\times m$ 的矩阵中选 $k$ 个数的方案数，即为 $k!\times \binom{n}{k}\binom{m}{k}$。于是就可以直接dp了，复杂度 $O(nk^2)$。

例 8 CF1580D Subsequence

https://codeforces.com/contest/1580/problem/D

将式子化以下，$(m-1)\sum a_{b_i}-2\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=i+1}^{m}\min_{b_i\le k\le b_j}a_k$。
后面那个东西可以用笛卡尔树转换为 $a_{lca(b_i,b_j)}$，然后我们定义边权为 $a_i-a_{fa_i}$。
那么即可转换为选 $m$ 个点使得其距离和最大，直接树形背包即可。

例 9 ZJOI2012 小蓝的好友

https://www.luogu.com.cn/problem/P2611

有一个 $R\times C$ 的图，图上有 $n$ 个随机的点，询问有多少矩形包含至少一个点。$1\le R,C\le 4\times 10^4,1\le N\le 10^5$。

转换为对不包含任意一个点的矩形计数，考虑枚举矩形的底，求出每一列距离这一行最近的点的高度，记为 $h_i$，然后转换为计数 $\sum_{l\ge r}\min_{l\le k\le r}h_k$。这个可以用笛卡尔树来维护，即维护 $h_i\times (sz_{ls_i}+1)\times (sz_{rs_i}+1)$ 的和。还要可以单点修改，用 treap 维护，由于数据随机所以复杂度正确。

例 10 JOISC2020 星座 3

https://www.luogu.com.cn/problem/P7219

本题有一个很妙的贪心做法，但是和本文无关，所以就不再多做介绍。

两个星星是否可以组成一个星座，显然和他们之间的最高的小船有关，那看到这个自然想到笛卡尔树。考虑 dp，转换为求最大保留多少，如何消除后效性。容易发现最大值上方的部分只能保留一个，所以设 $f[u][h]$ 代表 $u$ 子树内最大星星高度是 $h$。暴力转移很显然，考虑如何优化。发现我们需要的时候区间加，对应位置合并求 $\max$，以及单点修改，于是可以线段树合并维护，树上线段树合并时空复杂度均为 $O(n\log n)$。

笛卡尔树本质是最值分治的结构

其实就是笛卡尔树的结构，找到最值，然后分成两边递归。

例 11 P4755 Beautiful Pair

https://www.luogu.com.cn/problem/P4755

有个数列 $a$，当一个数对 $(i,j)$ 满足 $a_i$ 和 $a_j$ 的积不大于 $\max_{k=i}^{j}a_k$，这个数对是美丽的。请你求出美丽的数对的数量。

建出大根笛卡尔树，然后预处理出子树的区间，启发式分治，每次只遍历小的那一边，然后处理成区间询问。离线扫描线，然后离线扫描线即可。复杂度可以做到 $O(n\frac{\log^2n}{\log\log n})$。code

例 12 IOI2018 meetings 会议

https://www.luogu.com.cn/problem/P5044

设 $f[l][r]$ 代表区间 $[l,r]$ 的答案。设 $x\in [l,r]$ 是 $[l,r]$ 中最大的元素的位置。那么可以如此转移 $f[l,r] = \min(f[l,x=1]+(r-x+1)\times h_x,f[x+1,r]+(x-l+1)\times h_x)$。

考虑建出笛卡尔树，那么对于 $x$ 的子树，可以来维护对于区间内的 dp 值。考虑维护 $f[l,x-1]$ 和 $f[x+1,r]$，如果这些值被维护出来后直接枚举询问就好了。假设 $y$ 的父亲是 $x$，不妨设 $x\le y$，那么我们就是要维护 $f[l,y-1],l\in sub(x)$。

那么根据转移方程 $f[l,y-1]=\min(f[l,x-1]+h_x\times (y-x),f[x+1,y-1]+h_x\times (x-l+1))$，考虑用线段树来优化。首先先给第一部分区间加。而这个 $f$ 显然是单调的，后者是一条直线，找到交点之后就可以区间赋值了，注意线段树pushdown的顺序，应该先赋值再加。对于右半边的部分直接继承就好啦。

其实也就是这个dp是一个分治信息，可以快速维护。最后的复杂度为 $O((n+q)\log n)$。

笛卡尔树合并

可以参考之前2022.12.30的闲话。