22.10 杂题
一个做题记录，大部分题目都是一句话题解，小部分题目可能会有更详细的题解。
咕咕咕的题
LG5605 小A与两位神仙
[ARC086F] Shift and Decrement
ZROI 22noip10连 day4 Dark Matter
把 \(1\) 后面的都去掉，然后前面的从前往后算。
ZROI 22noip10连 day4 Zero
考虑kruscal求最小生成树，形成若干连通块，每个连通块可以连成一个完全图，那么只需要当前非树边可以塞进连通块里即可。还需注意之后的已经存在的边有可能会占用连通块里的边，所以需要求出重构树来求出这些边加入的时刻。
ZROI 22noip10连 day4 Zero Two
先考虑排列的情况，考虑 \(n\) 在b序列种出现的位置。枚举这个位置，显然两边形成子问题。具体来讲 \(f_{l,r,i}\) 代表区间 \([l,r]\) 不大于 \(i\) 的子序列的答案。枚举 \(i\) 出现位置转移即可。如果 \(i\) 没有出现就 \(f_{l,r,i}=f_{l,r,i-1}\)。然后如果不是排列离散化即可。
LG8593 「KDOI-02」一个弹的投
显然同一层的炸弹才会碰到，落地时间相同，算出碰撞时间和落地之间的不等式，发现数量是一段范围即可求出。
LG8594「KDOI-02」一个仇的复
考虑枚举有多少个竖着的以及多少连续的竖着的，接下来即可算出有多少个位置可以割，那么答案就很好算了。
LG8595 「KDOI-02」一个网的路
不同的树分开考虑，割成若干条链。\(f_{u,0/1/2}\) 分别代表把 \(u\) 删了，\(u\) 是某条链端点，以及 \(u\) 是某条链中间（端点在 \(u\) 子树内）。
LG3588 [POI2015] PUS
考虑大的向小的连一条边，那么会形成一个dag，在这个dag上贪心即可。每次会把区间分成 \(O(k)\) 个小段，那么对这 \(k\) 个位置建虚点，然后分别向每个区间连边，线段树优化建图，边的量级是 \(O(\sum k \log n)\) 的。注意区分 \(>\) 边和 \(\ge\) 边。
LG3236 [HNOI2014]画框
很妙啊。把 \((\sum a_{i,p_i},\sum b_{i,p_i})\) 变成坐标系中的点。那么找到 x 坐标，y 坐标最小的点 \(A,B\)。答案肯定在这条线段的左下方。找到离 AB 最远的点 \(C\)，显然三角形 \(ABC\) 之间的点都不如 \(C\)。于是递归去做线段 \(AB,BC\) 即可。考虑如何求出 \(C\)？即求使得 \(S\Delta ABC\) 最大的点，也就是 \(\vec{AB}\times \vec{AC}\) 最大的 \(C\)。即 \((x_B-x_A)(\sum (b_{i,pC_i}-b_{i,pA_{i}}))-(y_B-y_A)(\sum (a_{i,pC_i}-a_{i,pA_{i}}))\)，于是从新定一下权值跑最大权完美匹配即可。
LG7278 纯洁憧憬
LG7140 [THUPC2021 初赛] 区间矩阵乘法
推式子，记 \(s\) 为 \(a\) 的前缀和。
后面那个部分可以写成
随便根号分治维护。
LG4657 [CEOI2017] Chase
不想写了，还是来口胡吧。枚举一个起点作为根，然后考虑dp \(f_{u,i}\) 代表 \(u\) 的子树里放 \(i\) 个的最小值，转移方程 \(f_{u,i}=\max \max(f_{v,i},f_{v,i-1}+sum_u)\)，其中 \(sum_u\) 代表 \(u\) 所有儿子的 \(F\) 的和。然后换根dp即可，然后记得根一定要选。
LG6822 [PA2012]Tax
考虑把点变成边，边变成点，那么最后一共会有 \(O(m^2)\) 条边。建边的时候使用前缀和优化即可，边数优化到 \(O(m)\)。
LG5605 小A与两位神仙
数学题就不想写代码只想口胡。。。
首先肯定存在原根 \(g\)，那么我们只需要求出离线对数 \(\text{ind}_{g}h\) 以及欧拉函数。
算了，这题先弃了。
CF1709E XOR Tree
CF590E Birthday
如果 \(s_i\) 是 \(s_j\) 的子串，就连一条边 \(j\to i\)。即求这个dag最长反链，等价于最小可重复链覆盖，传递闭包后跑网络流。我们只需要建出ac自动机，然后再把fail树的边加上即可得到满足条件的dag。
LG3565 [POI2014]HOT-Hotels
\(f_{u,i}\) 代表 \(u\) 子树内深度差为 \(i\) 的点的个数，\(g_{u,i}\) 代表子树内深度相同的点的 lca 距离 \(u\) 是 \(d-i\) 的点对数，\(d\) 是点对到 lca 的距离，答案随便组合一下。
暴力转移前缀和优化是 \(O(n^2)\) 的，长链剖分可以优化到 \(O(n)\)。
2022-10-25 NOIP模拟赛 线段树
http://kel.ac.cn/contest/555/problem/1
显然直接递归+记忆化就是对的。。。
2022-10-25 NOIP模拟赛 变换
http://kel.ac.cn/contest/555/problem/2
容易发现，两次操作之后个数会变成原来的根号，于是维护前三次的答案，然后第四次开始暴力即可。
2022-10-25 NOIP模拟赛 树状数组
http://kel.ac.cn/contest/555/problem/3
树状数组其实呈一个树的结构，而这个过程其实就相当于做 k 次树上前缀和。设一个深度差为 \(d\) 的点，他的贡献是 \(\binom{k+d-1}{d}\)。而树状数组的树高是 \(\log\) 的，所以直接暴力即可。
2022-10-25 NOIP模拟赛 二进制
http://kel.ac.cn/contest/555/problem/4
思考一个暴力，把当前q跳到第一个满足i的位置，这样是 \(O(R-L+1)\) 的。考虑最后有一大段 \(0\)，那么这显然是可以一起跳的。毛估估一下复杂度变成 \(log\) 级别。
[ARC086F] Shift and Decrement
LG5604 小O与排列
LG5632 【模板】Stoer-Wagner算法
考虑两个点如果割完之后在同一边，那么就可以合并成一个点。考虑求任意两个点的最小割。维护一个集合，以及一个函数 \(w(i)=\sum_{j\in A}d_{i,j}\)，每次找到 \(w\) 最大的加入集合 A。然后把最后两个点作为 \(s,t\)，这两个点的割就是 \(w(t)\)。
LG4198 楼房重建
线段树维护前缀最值，考虑如何合并。维护 \(w(l,r)\) 代表区间 \((mid,r]\) 的贡献，合并时用 \(mx(l,mid)\) 拿去在 \((mid,r]\) 的线段树上二分。复杂度 \(O(n\log^2n)\)。好像还有单 \(\log\) 做法但是我不会。
LG5163 WD与地图
首先倒过来做，用权值线段树维护每个SCC，考虑一条边的两端在什么时候合并，显然可以二分。于是我们做一个整体二分，二分的过程中保留左边的边，递归进右边，再回溯。所以用可撤销并查集即可。
CF1361C Johnny and Megan's Necklace
枚举答案，然后发现及要求相邻的后 \(i\) 位全部相等，那么对于原有的一条边 \((u,v)\)，我们连边 \((u\bmod 2^i,v\bmod 2^i)\)，然后求是否有欧拉回路即可。
