Codeforces Contest 1717

A. Madoka and Strange Thoughts

\(\dfrac{ab}{\gcd(a,b)^2}\le 3\)，即 \(\dfrac{a}{\gcd(a,b)}\cdot\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\le 3\)，那么只有可能是 \(1\cdot 1,1\cdot 3,3\cdot 1\) 这三种情况，故可以 \(O(1)\) 计算。

B. Madoka and Underground Competitions

ee，直接先填一个大的叉，然后再贪心填就好了。

C. Madoka and Formal Statement

首先所有位置必须满足 \(a_i\le b_i\)，其次对于 \(a_i<b_i\) 的位置，这里肯定要加到 \(b_i\)，由于 \(a_{i+1}\le b_{i+1}\)，所以这里最大也就是 \(b_{i+1}+1\)，也就是说要满足 \(b_{i}\le b_{i+1}+1\)。容易发现这样就可以构造出一种方案了，遂判断是否满足这个条件即可。

D. Madoka and The Corruption Scheme

由于这个树是对称的，不妨设你一开始选择都是左边，那么第二个人想要某个人赢得冠军就要改至多k次成右边。也就是从根走到那个节点至多朝右走k次，方案数即为 \(\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\)。如果 \(k\) 比 \(n\) 大，那么第二个一定可以选到最大的那个获得最后的胜利。

E. Madoka and The Best University

还是改写一下式子

\[\sum_{c=1}^{n-2}\frac{c\times \gcd(a,b)}{\gcd(a,b,c)}=\sum_{c=1}^{n-2}c\sum_{d=1}^{n-c}\frac{d}{\gcd(d,c)}\sum_{a+b=n-c}[\gcd(a,b)=d]=\sum lcm(c,d)\varphi(\frac{n-c}{d}) \]

因为 \(\gcd(a,b)=\gcd(a,a+b)=\gcd(a,n-c)\)，你发现这个 d 必须是 \(n-c\) 的约数，于是直接暴力枚举就做完了。

再说说 \(\sum_{a+b=n-c}[\gcd(a,b)=d]\)，这个显然等价于 \(\sum\limits_{a+b=\frac{n-c}{d}}[\gcd(a,b)=1]=\varphi(\frac{n-c}{d})\)。

F. Madoka and The First Session

发现这个东西酷似网络流的流量，对于每个点，给边定向，那么有 \(in_u+out_u=d_u,in_u-out_u=a_u\Rightarrow in_u=\frac{a_u+d_u}{2}\)，那只要满足这个就好了，还得满足每条边值贡献一次，所以我们对于每个点每条边均建立一个点，一条边留向哪就代表这条边是那个点的入边。注意到左侧不一定满流，这很喃咕啊，得从左侧连向那些 \(s_i=0\) 的点，全部连无穷大，再判断是否满流。