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拉格朗日乘数法

前言

正文

拉格朗日乘数法

求多元函数 \(F\) 的极值。满足 \(\varphi=0\)。再引入一个变量 \(\lambda\)然后令 \(F'=F+\lambda\varphi\)。然后对它的每个元素求偏导,并令其为 \(0\)。解出来的值即为极值。

但是这并不能求最小和最大,还要讨论一下。

正确性:对 \(\lambda\) 求偏导就可以得到约束条件,然后 \(\lambda\) 的值不会影响函数值。

证明什么的就百度一下吧。

  • 一个具体的例子

\(\text{AB}=2\)

这是我的一道思博数学作业,显然 \(C\) 在以原点为中心,半径为 \(2\) 的圆上。然后就做完了。

我们考虑用代数去解决它:

\(A(x,0),B(0,y),C(\frac{x}{2},\frac{y}{2})\)

\[\begin{aligned} F(x, y)=(6-\frac{x}{2})^2+(8-\frac{y}{2})^2\\ \varphi(x,y)=x^2+y^2-4\\ ans=\sqrt {F(x,y)}\\ F(x,y,\lambda)=(6-\frac{x}{2})^2+(8-\frac{y}{2})^2+\lambda(x^2+y^2-4) \end{aligned} \]

然后你对其每一项求偏导,并令其为 \(0\)

\[\begin{cases} \frac{x}{2}+\lambda x=6\\ \frac{y}{2}+\lambda y=8\\ x^2+y^2=4\\ \end{cases} \]

然后解就好了,最后答案是 \(9\)

OI 一点的应用

【LG2179】

posted @ 2022-06-05 21:46  Semsue  阅读(247)  评论(0编辑  收藏  举报
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