关于 欧几里得算法 和 辗转相除 2022/2/18

gcd()和lcm()

 

 

 

要想证明这东西也很简单 ：

                             

我们把a与b相乘，会发现：对于任意的pi,它的指数为max（a，b）+min（a，b）=a+b；

所以每一个因子都会满足，所以就是这样了。。。

 

关于最大公约数的计算方法：

我下面就介绍一种：

我先扯一下啥是欧几里得算法：

其实就是让我筛选出n以内所有的素数，使其时间复杂度为o（n）；

直接举例子吧（max==12）

我们先找到最小的质数2，让2挨个乘每一个数（0到12），得到的数放进筛除表（即我们筛出来的合数），接着再筛3，再筛5，再筛7.。。（即把0到十二的每个数都乘一遍这个素数）

那你可能就会有疑问了，比如2*6=12,3*4也等于12，那我到底筛哪个呢？

那你可问对了，我们观察一下图，会发现我们是在6*2的时候把12筛掉的，因为我们在第一轮乘2的时候12就筛掉了，再到了3*4的时候一看有过12了，直接跳过，不要管他就完了

 还有几个问题

1.max是啥？？  其实max就是n啊，我们就是想要求max以内的质数，那你可能就有疑问了（其实是我有这个疑问），我筛掉的数早就都已经大于12了，为啥要一直筛到十二呢？其实我们要的是没被除掉的数，可以看出，在12时素数表内的数正好是12以内的素数！！

2.我要让1到12的数乘素数，那素数是怎么来的呢？？  其实我给你模拟一下你就知道了，比如i=2的时候，我把4放入筛数表那四以内的数就可以把它放入我们的素数表了（4以内的素数就已经被筛完了），下一轮我就乘素数表里的素数就行了！！

 

 

比如说：让你输入两个数，并输出其最大公约数：

                         

  当然，关于定义gcd亦可以用三母运算缩成一行：

 上难度！

这玩意，用最麻烦的方法就是：根据那个神仙定理可以知道输出的两数的乘积就是gcd*lcm，把乘积的所有因子列举出来，一个一个试，代码如下：

       

 

当然，了解了一下旁边大佬的方法，复杂度就没那么贱了：

就是用最大公约数除以最小公倍数，把所得的数字结果写成质数乘积的形式，让其中的每一个数。。。。哎呀，有点难说，还是举个栗子吧：

比如最小公倍数是60，最大公约数是3，那就用60/3=20,20=2*2*5.，则有这些组合方式：    

{3,3*2*2*5} {3*2,3*2*5} {3*5,3*2*2} {3*2*5，3*2} {3*2*2*5，3} {3*2*2，3*5}

 

好了，就先讲到这吧

再见，祝你好运！           2022/2/18