剑指 Offer 16. 数值的整数次方

说明:

• -100.0 < x < 100.0
• n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2^31, 2^31 − 1] 。

 

思路：快速幂

原理：

　　xⁿ暴力解法是循环乘x，时间复杂度O（n），但这是线性复杂度的，会超时。

　　快速幂的原理则是将幂指数 n 进行分割，从而将其变为对数复杂度的计算。

下面从二进制角度对其进行分析：

　　对于十进制整数 n，设其二进制表示为b_m……b₂b_1，则有

　　n = 2⁰*b₁+2¹*b₂+……+2^m-1*b_m

从而可得xⁿ = x^1b₁x^2b2……x^2m-1b_m

从而 xⁿ 的求解变成了获取b_1、b₂……b_m的值_，以及计算x¹、x^2……x^2m-1的值

　　在实现上，n&1 可以得到 n 二进制最后一位的值，计算后通过移位操作 n >>1 右移一位删去最后一位。

　　x 的幂则通过循环赋值 x = x² 计算，将线性复杂度化为对数复杂度。

简单的说就是将 n 不断二分，每次循环计算 x*x² 而不是 x*x ，从而降低复杂度。

时间复杂度O(log2​ⁿ)

代码如下：

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if(x == 0)
            return 0;
        long b = n;
        double res = 1.0;
        if(b < 0) {//x^b==(1/x)^(-b)
            x = 1 / x;
            b = -b;
        }
        while(b > 0) {
            if((b & 1) == 1)//二进制后尾部是否为1
                res *= x;
            x *= x;
            b >>= 1;//去掉最后一位
        }
        return res;
    }
}