剑指 Offer 14- I. 剪绳子

 

思路：

1.动态规划

　　首先想到的肯定是暴力解法，将所有情况列举出来再计算，时间复杂度O（2^n），很明显这种做法会超时。

　　如何改进暴力解法呢？在计算时会发现暴力解法实际上是将求解F（n）的问题分解成求解F（n-1）的问题。

　　由此可以使用动态规划的解法。

　　定义一个数组dp，其中 dp[i] 表示的是长度为 i 的绳子能得到的最大乘积。

　　我们先把长度为 i 的绳子拆成两部分，一部分是 j，另一部分是 i-j，其中 j 的取值范围为 [2, i )

　　那么会有下面2种情况：

　　1.i-j 不可继续拆

　　dp[ i ] = ( i - j ) * j

　　2. i-j 可继续拆

　　dp[ i ] = dp[ i - j ] * j

　　取这2种里的最大值，代码如下：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                int a = (i - j) * j;    //绳子分为i-j，j两段
                int b = dp[i - j] * j;  //分为i-j,j两段后，i-j一段可以继续拆分
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(a, b));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

 

2. 数学方法

由算术几何均值不等式可知，当所有绳段长度相等时，乘积最大。

　　

　　如果把长度为n的绳子分为x段，则每段只有在长度相等的时候乘积最大，那么每段的长度是n/x，他们的乘积是(n/x)^x。

　　对函数求导，当x=n/e的时候，也就是每段绳子的长度是 n/x=n/(n/e)=e 的时候乘积最大。

　　而题中绳子剪的长度都是整数，所以只能取接近e的值，也就是3的时候乘积最大。

　　这里也有例外，当 n≤4 时，因为2×2>1×3，有特殊情况。

　　因此如果n大于4，就不停的把绳子减去3，代码如下：

public int cuttingRope(int n) {
    if (n == 2 || n == 3)
        return n - 1;
    int res = 1;
    while (n > 4) {
        //如果n大于4，我们不停的让他减去3
        n = n - 3;
        //计算每段的乘积
        res = res * 3;
    }
    return n * res;
}

参考：
https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/shu-xue-zhi-shi-he-dong-tai-gui-hua-liang-chong-fa/