椭流线法设计配光器

一、设计原理

1、边光原理

边光原理是非成像光学中的一个基础原理，其内容可以表述为：来自光源边缘的光线经过若干有序正则光学曲面后依然落在投射光斑的边缘，而来自光源内部的光线也将落在光斑内部。这里的边缘包含两层含义：①二维曲面边缘；②光束立体角边缘。对于需要考察光斑内部分布的照明配光器件而言，利用边光原理可以生成一个基础方案，也为设计带来方便。

其核心思想就是 “边缘对边缘” ，可以作如下具体的表述：
若一个具有一定光展的光源发出的光线经过一个或几个序列化的单调正则光学表面的光学作用后投向目标面形成光斑，则整个光学过程具有以下两个性质：一是光源的边光成为光斑的边光；二是光源的内光映射为光斑的内光，并保持光线的拓扑结构不变。

如图3.37所示，唯有\(C_i\)不是边光，而是内部光线，简称内光。

2、反射定律

在均匀介质中，由费马原理可以导出反射定律。反射定律包含两点：①入射光线、法线和反射光线共面；②入射角和反射角相等。主要应用于镜面或界面等光学器件设计。

一条光线从\(P_1\)点出发，在镜面\(M\)的\(A\)点反射，转而折向\(P_2\)点。\(P_1\)到\(P_2\)的距离与\(Q\)到\(P_1\)的距离相等，这里\(Q\)是\(P\)的镜像。如果光沿着路径\(P_1BP_2\)传播，其距离等于路径 \(QBP_2\)的距离，或者沿着路径\(P_1CP_2\)传播，其距离等于路径 \(QCP_2\)的距离，那么它传播更远的距离。这个原理解释了为什么入射光线与表面法线的夹角\(\alpha\)等于反射光线与法线的夹角。图3.25(a)为原理图。

以数学的形式，图3.25(b)中\(P_1\)和\(P_2\)两点间的距离\(S\)为

\[S = \sqrt{a ^ 2 + x ^ 2} + \sqrt{b ^ 2 +(d - x) ^ 2} \]

从而

\[\frac{dS}{dx} = \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{a ^ 2 + x ^ 2}} - \frac{1}{2}\frac{2(d - x)}{b ^ 2 + (d - x) ^ 2} = sin{\alpha_1} - sin{\alpha_2} \]

我们要寻找点\(A\)位置\(\alpha\)使得\(P_1\)和\(P_2\)的距离是最小的。使得\(S\)取得最小值的\(x\)的值可以通过\(\frac{dS}{dx}\)获得，从而

\[sin{\alpha_1} = sin{\alpha_2} \Leftrightarrow \alpha_1 = \alpha_2 \]

这便是反射定律。

3、椭流线几何特性

配焦椭流线法是将椭圆几何特性与光学原理结合起来形成的一种针对点光源设计的配光方法。如下图所示，\(F\)、\(G\)是椭圆的两个焦点，\(F\)、\(G\)点的坐标分别为\(F(0, 0)\)，\(G(0, 0)\)。

点\(P\)是椭圆上任意一点\(P = (P_1, P_2) = t(cos{\phi}, sin{\phi})\), \(t\)是\(F\)到\(G\)的距离，则点\(P\)到\(G\)的距离可求：

\[s = \sqrt{(G - P) \cdot (G - P)} = \sqrt{f ^ 2 + t ^ 2 - 2 f t cos{\phi}} \]

根据椭圆原理可知长轴\(K = t + s\), \(K\)为常量，因此

\[s ^ 2 = (K - t) ^ 2 \Leftrightarrow f ^ 2 + t ^ 2 - 2 f t cos{\phi} = (K - t) ^ 2 \]

由上式可以推出关于\(t\)的参数方程：

\[t(\phi) = \frac{K ^ 2 - f ^ 2}{2K - 2f cos{\phi}} \]

因此可以推出椭圆的参数化方程：

\[\frac{K ^ 2 - f ^ 2}{2K - 2f cos{\phi}} (cos{\phi}, sin{\phi}) \]

对于椭圆焦点不在坐标轴上的离轴焦点情况，如下图所示：

有参数化方程：

\[\frac{K ^ 2 - f ^ 2}{2K - 2f cos{\phi}} (cos{(\phi + \alpha)}, sin{(\phi + \alpha)}) + F \]

二、设计目标

1. 距配光器底部距离\(d = 15mm\)的LED发出的光线通过配光器反射后能投射至\(H = 3300mm\)的目标面，形成一个半径为\(r_N = 1000mm\)均匀圆斑。

三、设计方法

椭流线法配光系统大致如下图所示。将光源角空间进行分割记为\(\theta_i\)，同时将目标面分割记为\(r_i\)；通过能量分配建立\(\theta_i\)与\(r_i\)之间的映射关系，求出\(\theta_i\)和\(r_i\)；最后通过反射定律求出由\(P_i\)构成的光学母线。由于对称，故在设计过程中可以只考虑二维平面下的半边。

1、光源角分割

本次设计中选用的LED光源为朗伯型光源，故该光源有如下光强分布：

\[I = I_0 cos{\theta} \]

已知光通量光强关系式：

\[I_V = \frac{d \phi_V}{d \Omega} \]

\[\varphi = \int I_V d \Omega \]

故可推得：

\[\varphi = \int_{\theta_i}^{\theta_j} I sin{\theta} d \theta \]

\[\varphi = I_0 \int_{\theta_i}^{\theta_j} cos{\theta} sin{\theta} d \theta \]

将光源角按照能量等分形式进行分割。已知总能量\(\varphi_a\)，等分为\(N\)份，则有单份能量\(\varphi_i = \frac{\varphi_a}{N}\)，可以推得：

\[\varphi_i = I_0 \int_{\theta_i}^{\theta_{i + 1}} cos{\theta} sin{\theta} d \theta \]

即

\[\varphi_i = \frac{1}{2} I_0 [sin{\theta_{i + 1}} ^ 2 - sin{\theta_i} ^ 2] \]

代入\(\varphi_i = \frac{\varphi_a}{N}\)，可得

\[\theta_{i + 1} = arcsin{\sqrt{\frac{2 \varphi_a}{N I_0} + sin{\theta_i} ^ 2}} \]

2、目标面分割

因为对光源角进行了等能分割，故对目标面进行等面积分割。
目标光斑面积为：

\[S_a = \pi r_N ^ 2 \]

将目标光斑面积等分为\(N\)份，则中心圆面积为：

\[S_1 = \pi r_1 ^ 2 \]

其余圆环面积为：

\[S_i = \pi (r_i ^ 2 - r_{i - 1} ^ 2) \]

使得任意\(i \in [1, N]\)均有：

\[S_i = \frac{S_a}{N} \]

可以得到：

\[S_1 = \pi r_1 ^ 2 = \frac{\pi r_N ^ 2}{N} \]

化简得：

\[r_1 = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N}} \]

对于\(i \in [2, N]\)则有：

\[r_i = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N} + r(i - 1) ^ 2} \]

3、建立映射关系

等能分割后的光源角与等面积分割的目标面一一对应，映射的光源分割角\(\theta_i\)与目标分割圆环半径\(r_i\)计算公式如下：

\[\begin{cases} r_1 = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N}} \\ r_i = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N} + r(i - 1) ^ 2}, & i \in [2, N] \end{cases} \]

\[\begin{cases} \theta_1 = arcsin{\sqrt{\frac{1}{N}}} \\ \theta_i = arcsin{\sqrt{\frac{1}{N} + sin{\theta_{i - 1}} ^ 2}}, & i \in [2, N] \end{cases} \]

4、构建反射曲面

将反射面按角度分割，接收面按面积分割后，开始构建反射曲面。将反射曲面分割为\(N\)份，与剪裁法通过直线段构建反射曲面不同，椭流线法采用椭圆线段来构建反射曲面，即将剪裁法中的直线段替换为椭圆线段。

利用椭圆的配焦性质，一个焦点发出的光线，经过椭圆构成的曲面汇聚，汇聚到另一焦点。由此可以控制每一分割段光线的汇聚点。

对于发射角范围在\(\theta \in [\theta_0, \theta_1]\)的光线，经过反射面反射，将落在该段椭圆上的另一焦点\(Q_2\)上，即对应圆环的夹心圆上\(\frac{r_1 + r_2}{2}\)

由此可以计算得到椭圆线段上点的坐标：

\[\left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \frac{K ^ 2 - f ^ 2}{2K - 2f cos{\phi}} \left[ \begin{matrix} cos{(\phi + \alpha)} \\ sin{(\phi + \alpha)} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} F_x \\ F_y \end{matrix} \right] \]

式中，\(\phi = \theta_1 - \theta_0\).

四、设计步骤

1、设计参数

\[\begin{matrix} d = 15mm \\ H = 3300mm \\ LED 1616 \\ r_N = 1000mm \\ \end{matrix} \]

2、编写matlab程序，计算光学母线

main.m

%% 初始化
clc
clear

%% 参数设定
H = 3300;   % 目标面距离
RN = 1000;  % 目标光斑半径
N = 1000;  % 曲面细分
d = 15;     % 光源与反射面底部距离

%% 计算抛物流线坐标
y = elli_RF(H, RN, N, d);
plot(y(:, 1), y(:, 2));
y = [y, zeros(length(y), 1)];
grid on;
axis equal;
save('椭流线反射面数据.txt', 'y', '-ascii');

elli_RF.m

function site = elli_RF(H, RN, N, d)
    % H：目标面距离
    % RN：目标光斑半径
    % N：曲面细分
    % d：光源与反射面底部距离
    n = 5;  % 每段内离散点数量
    theta1 = 0;   % 初始角度
    site = zeros(2, N * n);      % 为反射面坐标分配内存
    r1 = 0;  % 目标面分配分割圆环首个外圆半径
    p1 = [0; d];   % 椭流线起点
    F1 = [0; 0];   % 初始焦点
    
    for i = 1 : N
        theta2 = asin(sqrt(1 / N + (sin(theta1)) ^ 2));   % 计算每一反射点对应角度
        r2 = sqrt(RN ^ 2 / N + r1 ^ 2);
        F2 = [(r2 + r1) / 2; -H];    % 取圆环的夹心圆上的点作为反射面上对应的另一焦点
        alpha = -atan(H / ((r2 + r1) / 2));  % 计算椭圆偏转角
        % 计算当前段椭流线角度范围
        the1 = pi / 2 - alpha - theta1;     % 左边界
        the2 = pi / 2 - alpha - theta2;     % 右边界
        % 对角度范围进行线性插值并去除右边界
        the = linspace(the1, the2, n + 1);
        the(end)=[];
        f = norm(F2);   % 计算焦距
        k = norm(F1 - p1) + norm(F2 - p1);  % 计算长轴
        % 计算该段椭流线坐标点
        site(:, n * (i - 1) + 1 : i * n) = (k ^ 2 - f ^ 2) ./ ...
            (2 * k - 2 * f .* cos(the)) .*...
            [cos(alpha + the);sin(alpha + the)];
        % 更新下一段椭流线起点、映射圆环内圆及起始角度
        p1 = site(:, i * n);
        r1 = r2;
        theta1 = theta2;
    end
    site = site';
end

计算得到光学母线：

3、将计算好的光学母线数据导入SolidWorks，建立配光器模型

4、在SolidWorks中保存零件为.sat(R20)格式，并导入TracePro中

对LED的发光面设置10000000条光线并进行光线追迹，得到接收面的辐照度分析图，包括中心点和其他任意点的分析。

从辐照度分析图可以看出，该配光器的接收效率为\(99.45 \%\)左右，均匀度大致在\(95 \%\)附近，目标面光斑有着些微斑点。均匀度和光效均满足目标需求。

五、误查分析

在计算曲面的坐标点时，仅仅保证椭流线在从自由曲面顶点到边缘方向保证了自由曲面各点的切向方向，但并不能保证曲面各点的法向方向，因此，才会导致设计的自由曲面的仿真结果与理想光斑的均匀度存在一定的差异。

六、总结

整体而言，本次设计成功实现了预定目标，通过椭流线法设计出的配光器在接收效率和均匀度上均表现良好，满足了设计需求，展示了椭流线法在配光设计领域的实际应用。通过对边光原理、反射定律和椭流线几何特性的深入分析，对建立椭流线法反射曲面有了一定的理论基础。建立模型后，通过matlab计算光学母线，solidworks建立配光器模型以及tracepro进行光学仿真，展示了设计从理论到实践的转化过程。此外，设计结果展示的偏差也为后续的优化提供一定的参考。

参考

1. 张航, 严金华. 非成像光学设计[M]. 北京: 科学出版社, 2016.
2. 刘超. 基于配焦椭流线法的自由曲面设计[D]. 浙江:浙江工业大学,2015.
3. 共焦椭流线