剪裁法设计配光器

一、设计原理

1. 边光原理
   边光原理是非成像光学中的一个基础原理，其内容可以表述为：来自光源边缘的光线经过若干有序正则光学曲面后依然落在投射光斑的边缘，而来自光源内部的光线也将落在光斑内部。这里的边缘包含两层含义：①二维曲面边缘；②光束立体角边缘。对于需要考察光斑内部分布的照明配光器件而言，利用边光原理可以生成一个基础方案，也为设计带来方便。
   其核心思想就是 “边缘对边缘” ，可以作如下具体的表述：
   若一个具有一定光展的光源发出的光线经过一个或几个序列化的单调正则光学表面的光学作用后投向目标面形成光斑，则整个光学过程具有以下两个性质：一是光源的边光成为光斑的边光；二是光源的内光映射为光斑的内光，并保持光线的拓扑结构不变。
   如图3.37所示，唯有\(C_i\)不是边光，而是内部光线，简称内光。

2. 反射定律
   在均匀介质中，由费马原理可以导出反射定律。反射定律包含两点：①入射光线、法线和反射光线共面；②入射角和反射角相等。主要应用于镜面或界面等光学器件设计。
   一条光线从\(P_1\)点出发，在镜面\(M\)的\(A\)点反射，转而折向\(P_2\)点。\(P_1\)到\(P_2\)的距离与\(Q\)到\(P_1\)的距离相等，这里\(Q\)是\(P\)的镜像。如果光沿着路径\(P_1BP_2\)传播，其距离等于路径 \(QBP_2\)的距离，或者沿着路径\(P_1CP_2\)传播，其距离等于路径 \(QCP_2\)的距离，那么它传播更远的距离。这个原理解释了为什么入射光线与表面法线的夹角\(\alpha\)等于反射光线与法线的夹角。图3.25(a)为原理图。
   以数学的形式，图3.25(b)中\(P_1\)和\(P_2\)两点间的距离\(S\)为
   \[S = \sqrt{a ^ 2 + x ^ 2} + \sqrt{b ^ 2 +(d - x) ^ 2} \]
   从而W
   \[\frac{dS}{dx} = \frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{a ^ 2 + x ^ 2}} - \frac{1}{2}\frac{2(d - x)}{b ^ 2 + (d - x) ^ 2} = sin{\alpha_1} - sin{\alpha_2} \]
   我们要寻找点\(A\)位置\(\alpha\)使得\(P_1\)和\(P_2\)的距离是最小的。使得\(S\)取得最小值的\(x\)的值可以通过\(\frac{dS}{dx}\)获得，从而
   \[sin{\alpha_1} = sin{\alpha_2} \Leftrightarrow \alpha_1 = \alpha_2 \]
   这便是反射定律。

二、设计目标

1. 距配光器底部距离\(d = 20mm\)的LED发出的光线通过配光器反射后能投射至\(H = 3000mm\)的目标面，形成一个半径为\(r_N = 500mm\)均匀圆斑。
2. 对于均匀圆斑，要求均匀度\(\eta > 0.9\)，光效\(\varepsilon > 0.9\).

三、设计方法

剪裁法配光系统大致如下图所示。将光源角空间进行分割记为\(\theta_i\)，同时将目标面分割记为\(r_i\)；通过能量分配建立\(\theta_i\)与\(r_i\)之间的映射关系，求出\(\theta_i\)和\(r_i\)；最后通过反射定律求出由\(P_i\)构成的光学母线。由于对称，故在设计过程中可以只考虑二维平面下的半边。

1、 光源角分割

本次设计中选用的LED光源为朗伯型光源，故该光源有如下光强分布：

\[I = I_0 cos{\theta} \]

已知光通量光强关系式：

\[I_V = \frac{d \phi_V}{d \Omega} \]

\[\varphi = \int I_V d \Omega \]

故可推得：

\[\varphi = \int_{\theta_i}^{\theta_j} I sin{\theta} d \theta \]

\[\varphi = I_0 \int_{\theta_i}^{\theta_j} cos{\theta} sin{\theta} d \theta \]

将光源角按照能量等分形式进行分割。已知总能量\(\varphi_a\)，等分为\(N\)份，则有单份能量\(\varphi_i = \frac{\varphi_a}{N}\)，可以推得：

\[\varphi_i = I_0 \int_{\theta_i}^{\theta_{i + 1}} cos{\theta} sin{\theta} d \theta \]

即

\[\varphi_i = \frac{1}{2} I_0 [sin{\theta_{i + 1}} ^ 2 - sin{\theta_i} ^ 2] \]

代入\(\varphi_i = \frac{\varphi_a}{N}\)，可得

\[\theta_{i + 1} = arcsin{\sqrt{\frac{2 \varphi_a}{N I_0} + sin{\theta_i} ^ 2}} \]

2、目标面分割

因为对光源角进行了等能分割，故对目标面进行等面积分割。
目标光斑面积为：

\[S_a = \pi r_N ^ 2 \]

将目标光斑面积等分为\(N\)份，则中心圆面积为：

\[S_1 = \pi r_1 ^ 2 \]

其余圆环面积为：

\[S_i = \pi (r_i ^ 2 - r_{i - 1} ^ 2) \]

使得任意\(i \in [1, N]\)均有：

\[S_i = \frac{S_a}{N} \]

可以得到：

\[S_1 = \pi r_1 ^ 2 = \frac{\pi r_N ^ 2}{N} \]

化简得：

\[r_1 = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N}} \]

对于\(i \in [2, N]\)则有：

\[r_i = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N} + r(i - 1) ^ 2} \]

3、建立映射关系

等能分割后的光源角与等面积分割的目标面一一对应，映射的光源分割角\(\theta_i\)与目标分割圆环半径\(r_i\)计算公式如下：

\[\begin{cases} r_1 = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N}} \\ r_i = \sqrt{\frac{r_N ^ 2}{N} + r(i - 1) ^ 2}, & i \in [2, N] \end{cases} \]

\[\begin{cases} \theta_1 = arcsin{\sqrt{\frac{1}{N}}} \\ \theta_i = arcsin{\sqrt{\frac{1}{N} + sin{\theta_{i - 1}} ^ 2}}, & i \in [2, N] \end{cases} \]

4、建立反射关系，求解\(P_i\)（光学母线）

反射光路大致如上图所示，其中\(\alpha\)为入射光线和反射光线之间的夹角，\(a\)为LED到目标面落点之间的距离，\(b\)为LED到反射点之间的距离，\(c\)为反射点到目标面落点之间的距离。
则根据余弦定理，可以求得角\(\alpha\)为：

\[\alpha = arccos{\frac{b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2}{2 b c}} \]

同时，已知下一发射角\(\theta_{i + 1}\)，设当前斜边长为\(L_1\)，反射面长为\(L_2\)，根据余弦定理，则有：

\[\frac{L_2}{sin{\theta_{i + 1} - \theta_i}} = \frac{L_1}{sin{\frac{\pi}{2} - \alpha + \theta_i - \theta_{i + 1}}} \]

易推反射光线与下一反射面的夹角为\(\alpha + \frac{\pi}{2}\)，故可以推得下一反射面反射点的坐标\((x_{i + 1}, y_{i + 1})\)：

\[\left[ \begin{matrix} x_{i + 1} \\ y_{i + 1} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos{\alpha + \frac{\pi}{2}} & sin{\alpha + \frac{\pi}{2}}\\ -sin{\alpha + \frac{\pi}{2}} & cos{\alpha + \frac{\pi}{2}} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_i \\ y_i \end{matrix} \right] \]

经过迭代即可求得光学母线。

四、设计步骤

1、设计参数

\[\begin{matrix} d = 20mm \\ H = 3000mm \\ LED 1616 \\ r_N = 500mm \\ \end{matrix} \]

2、编写matlab程序，计算光学母线

main.m

%% 初始化
clc
clear

%% 参数设定
H = 3000;   % 目标面距离
RN = 500;  % 目标光斑半径
N = 10000;  % 曲面细分
d = 20;     % 初始定点距离

%% 坐标运算
y = RS_site(H, d, RN, N);
y = real(y);    % 略去虚部

%% 绘制图像
plot(y(:, 1), y(:, 2));
axis equal;
grid on;
y = [y, zeros(length(y), 1)];

%% 保存抛物线数据
save('裁剪法反射面数据.txt', 'y', '-ascii');

RS_site.m

function site = RS_site(H, d, l, N)
    % 计算剪裁法反射面母线坐标
    % H为LED到目标面的距离
    % d为LED到首个反射点之间的距离
    % l为目标光斑半径
    % N为分割点数
    theta = zeros(N, 1);    
    theta(1) = asin(sqrt(1 / N));   % 初始角度
    L1 = d / cos(theta(1));  % LED到首点之间距离
    site = zeros(N, 2);      % 为反射面坐标分配内存
    site(1, :) = [d * tan(theta(1)), d];   % 反射面上首个坐标
    r = zeros(N, 1);
    r(1) = sqrt(l ^ 2 / N);  % 按照能量分配计算得到中心圆的半径
    for i = 2 : N
        theta(i)=asin(sqrt(1 / N + (sin(theta(i - 1))) ^ 2));   % 计算每一反射点对应角度
        r(i) = sqrt(l ^ 2 / N + r(i - 1) ^ 2);                  % 计算当前接收面环带外半径
        t = [r(i - 1), -H];
        a = norm(t);    % 求解LED到目标面落点之间的距离
        c = norm(site(i - 1, :) - t);   % 求解反射点到目标面落点之间的距离
        alpha = acos((L1 ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2) / (2 * L1 * c)) / 2;  % 求解入射光线与反射光线之间的夹角
        L2 = L1 * sin(theta(i) - theta(i - 1)) / sin(pi / 2 - alpha + theta(i - 1) - theta(i)); % 求解该段反射面长度
        % 计算反射点坐标
        t = -site(i - 1, :) / norm(site(i - 1, :)) * L2;
        tsite = site(i - 1, :)' + ...
            [cos(alpha + pi / 2), -sin(alpha + pi / 2); sin(alpha + pi / 2), cos(alpha + pi / 2)]...
            * t';
        site(i, :) = tsite';
        % 初始化下一段斜边长
        L1 = norm(site(i, :));
    end
    site = [0, d; site];
end

计算得到光学母线：

3、将计算好的光学母线数据导入SolidWorks，建立配光器模型

4、在SolidWorks中保存零件为.sat(R20)格式，并导入TracePro中

添加规格为1.6mm * 1.6mm的朗伯型光源作为LED光源，并在3000mm外设立接收板，为光源添加波长为\(555nm\)的光线，进行光线追迹。

得到接收面的辐照度分析图，包括中心点和其他任意点的分析。

五、误查分析

从仿真结果可以看出，光效为\(0.99\),均匀度大于\(0.95\),均满足均匀度\(\eta > 0.9\)，光效\(\varepsilon > 0.9\)的设计目标。但在中间处有一定的下凹，可能是因为LED光源对反射光线的遮挡所导致的。考虑到剪裁法对目标面进行细分，以光通量角映射目标面或许会有一定的误查。

六、参考

1. 张航, 严金华. 非成像光学设计[M]. 北京: 科学出版社, 2016.
2. 基于剪裁法的反射面设计.