多焦点菲涅尔透镜
本文探讨了多焦点菲涅尔透镜的设计原理及其应用，通过边光原理、透镜焦距公式和菲涅尔透镜原理，详细描述了设计过程及光学仿真结果，展现了如何利用不同焦点环带实现光强分配的具体方法。
一、设计原理
1、边光原理
边光原理是非成像光学中的一个基础原理，其内容可以表述为：来自光源边缘的光线经过若干有序正则光学曲面后依然落在投射光斑的边缘，而来自光源内部的光线也将落在光斑内部。这里的边缘包含两层含义：①二维曲面边缘；②光束立体角边缘。对于需要考察光斑内部分布的照明配光器件而言，利用边光原理可以生成一个基础方案，也为设计带来方便。
其核心思想就是 “边缘对边缘” ，可以作如下具体的表述：
若一个具有一定光展的光源发出的光线经过一个或几个序列化的单调正则光学表面的光学作用后投向目标面形成光斑，则整个光学过程具有以下两个性质：一是光源的边光成为光斑的边光；二是光源的内光映射为光斑的内光，并保持光线的拓扑结构不变。
如图3.37所示，唯有\(C_i\)不是边光，而是内部光线，简称内光。
2、透镜焦距公式
透镜由两个球面组成，根据组合光学系统的转面公式，可以推得该组合光学系统的等效焦距。当透镜两侧均为空气时，有：
将透镜视为薄透镜时，透镜厚度\(d\)可以忽略，透镜焦距可以表示为：
式中\(\rho_1, \rho_2\)分别为两个表面的曲率半径的倒数。故曲率半径与焦距的关系式可以表示为：
3、菲涅尔透镜原理
法国物理学家兼工程师 Fresnel 根据透镜的成像特点，即透镜在成像时对光线偏折起决定作用的是其表面的曲率，而透镜本身的厚度对成像贡献较少，之所以一般的凸透镜厚度较大，是为了满足其表面曲率或大孔径的要求，因此他提出在设计透镜时，可以减少其轴向厚度，但表面曲率保持不变。下图是菲涅尔透镜形成的原理。按该方法设计而成的透镜不仅保持了汇聚光线这一能力，同时还节省了材料，使得透镜整体结构得到简化。
在实际加工及应用时，透镜厚度的减少，使得透镜曲面位置靠前，致使出射光线的出射点也相应提前，因而光线通过透镜发生汇聚时的焦点位置比同一曲率普通透镜的焦点位置要靠前，即焦距变短了，如下图所示。为了使菲涅尔透镜的焦距不发生变化，在实际设计时必须对每一环的曲率重新进行调整。
菲涅尔透镜表面圆弧的坐标可以通过如下参数方程求得：
4、多焦点菲涅尔透镜
当每个环带的焦距不同时，光经过不同环带所汇聚的焦点不同，故可以控制不同环带的光在落在接收面特定位置。如下图所示：
通过设计每个环带不同的焦点，可以分配目标面上光强的分配。
二、设计目标
- 设计一个焦距分别为\(f = i \cdot 200 mm, i = 1, 2, \dots, 5\), 折射率\(n = 1.5\), 透镜半径\(r = 20 mm\)的菲涅尔透镜。
三、设计方法
平行光从菲涅尔透镜平面一侧垂直入射。将透镜的中心记为第0环，紧靠其外的记为第1环，从内到外以此类推。透镜中心一环的半径用\(h_0\)表示，第\(i\)个环带中点到透镜中心的距离记为\(h_i\)。光线经过透镜后汇聚到焦点如下图所示。
平行光线从第\(i\)环的中点\(M\)入射，由于光线是垂直入射，故在\(M\)点不发生偏折，当光线穿过透镜到达\(N\)点时，光线与出射界面不垂直，此时发生了偏折。其中\(\theta_i\)为第\(i\)个环带面的倾角，\(\phi_i\)为该光线汇聚到焦点处时与光轴的夹角，\(\phi_i\)同时也是光线的偏折角。如下图所示，将\(N\)点处的光线折射情况进行了放大。在\(N\)点处，光线由透镜第\(i\)个环带面传至空气中时，其中入射角为\(i_1\),出射角为\(i_2\),光线的偏折角为\(\Phi_i\)。
由角度的几何关系及折射定律可得：
将上述四个式子联立，可以推出第\(i\)个环带面的倾斜角\(\theta\),即表示为：
四、设计步骤
1、设计参数
透镜材料选用PMMA材料，其折射率接近1.5，为1.4935。
2、编写matlab程序，计算光学母线
main.m
%% 初始化
clear
clc
%% 参数设定
r = 20; % 透镜半径
f = 200 .* [5; 4; 3; 2; 1]; % 确定焦距
N = length(f); % 确定透镜环数
n = 1.4935; % 透镜材料折射率，材料PMMA
num = 100; % 每环内点的总数
%% 计算光学母线
y = split_section(r, f, N, n, num);
y(:, 2) = y(:, 2) + 1; % 将母线上移
plot(y(:, 1), y(:, 2));
y = [y, zeros(N * num, 1)]; % 补上z轴
axis equal;
grid on;
% 母线分段保存
for i = 1 : num : length(y(:, 1))
name = ['多焦点菲涅尔透镜母线', num2str(fix(i / num)), '.txt'];
temp = y(i : i + num - 1, :, :);
save(name, 'temp', '-ascii');
end
split_section.m
function site = split_section(r, f, N, n, num)
% 计算菲涅尔环带坐标
R = f .* (n - 1); % 计算曲率半径
% 计算圆心坐标
ce_site = zeros(2, N);
ce_site(2, :) = -sqrt(R .^ 2 - r ^ 2) .* (abs(R) ./ R); % y轴值
site = zeros(2, N * num); % 为坐标分配内存
for i = 1 : N
theta1 = asin(r * sqrt((i - 1) / N) / R(i));
theta2 = asin(r * sqrt(i / N) / R(i));
if (theta1 >= 0)
t = ce_site(2, i) + R(i) .* cos(theta2);
else
t = ce_site(2, i) + R(i) .* cos(theta1);
end
range_t = linspace(theta1, theta2, num);
site(1, 1 + (i - 1) * num : i * num) = ce_site(1, i) + R(i) * sin(range_t); % 计算x轴坐标
site(2, 1 + (i - 1) * num : i * num) = ce_site(2, i) + R(i) * cos(range_t) - t; % 计算y轴坐标
end
site = site';
end
计算得到光学母线：
3、将计算好的光学母线数据导入SolidWorks，建立菲涅尔透镜模型
4、在SolidWorks中保存零件为.sat(R20)格式，并导入TracePro中
将透镜材料设置为PMMA。
对LED的发光面设置10000000条光线并进行光线追迹，得到接收面的辐照度分析图。呈现环带状分布。
从辐照度分析图可以看出，该菲涅尔透镜对平行光的光效为\(92.32 \%\)左右。
五、误差分析
通过对菲涅尔透镜不同环带设置不同的焦点来达到对接收面光斑光强的分配，但通过不同焦点的设置来进行光强分配并不能使目标面光斑大小达到合适的均匀度。
六、总结
整体而言，本次设计成功实现了多交点菲涅尔透镜的设计，多交点菲涅尔透镜对于平行光汇聚的光效表现良好。通过对边光原理、透镜焦距公式以及菲涅尔透镜生成原理的深入分析，对菲涅尔透镜的设计有了一定的理论基础。建立模型后，通过matlab计算光学母线，solidworks建立菲涅尔透镜模型以及tracepro进行光学仿真，展示了设计从理论到实践的转化过程。此外，设计结果展示的偏差也为后续的优化提供一定的参考。
