洛谷P3917 异或序列

 

题意：

　　给出一个大小为n的序列a[n]，求∑1≤i≤j≤n Ai​⨁Ai+1​⨁⋯⨁Aj的值​

分析：

　　根据异或的性质我们很容易想到一个O(n*n)的做法，即进行一个异或前缀和。

　　for (int i = 1;i=< n;i ++)
    　　for (int j = 1;j <= i;j ++) ans += sum[i] ^ sum[j-1];

　　可以看到我们每次固定a[i]，每次计算a[i]^a[j-1]的值，但这样计算的效率并不高，我们考虑异或的性质，
实际上两个数异或操作就是将两个数的二进制进行比较，若1和0即为1，相同则为0，这启发我们可以进行一些操作
举个例子：

sum[1] 0 0 0 0 1 0 1
sum[2] 1 0 1 0 0 1 0
sum[3] 0 1 1 1 0 0 0 
...
sum[i] 1 0 1 0 0 1 0

对于sum[i]的每一个二进制位，其余的所有sum在对应位置上的值与其相反的会产生一次贡献，比如上图中sum[i]的一位置
sum[1],sum[3]会产生一次贡献（省略号中的就不说了）。那我们进行推广，每个0位置会和所有的1位置产生贡献，那么我们
对于二进制的每一个位置，统计sum[i],i=1~n中对应位置1的个数，即为cnt,那么自然0的个数就会是(n-cnt)，每个0都会
对所有的1产生贡献，那么所有的贡献就是cnt*(n-cnt)*1<<j。

那么这样考虑是否就是正确的呢？我们回头看一下O（n*n)的做法，是从j-1开始计算的，那么按照这样做实际上我们少考虑了
sum[i]本身自己的贡献值，也就是说对于每个二进制位我们还需要加上cnt的贡献，也就是(cnt*(n-cnt)+cnt)*1<<j.

代码如下：（有两个版本，大家仔细看差异，如果你理解了这题的做法，你会明白差异的原因）

 

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N=100005;

void read(int &x)
{
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

int n,a[N],dis[N],ans,cnt;

signed main()
{
    
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        read(x);
        dis[i]=dis[i-1]^x;
        ans+=dis[i];
    }
    
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        int cnt=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(dis[j]&(1<<(i-1)))cnt++;    
        }
        ans+=cnt*(n-cnt)*(1<<(i-1));
    }
    cout<<ans;
    
}

 

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N=100005,mod=998244353;

void read(int &x)
{
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

int n,a[N],dis[N],ans,cnt;

signed main()
{
    
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        read(x);
        dis[i]=dis[i-1]^x;
    }
    
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        int cnt=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(dis[j]&(1<<(i-1)))cnt++;    
        }
        ans+=cnt*(n-cnt+1)*(1<<(i-1));
    }
    cout<<ans;
    
}