判断矩阵可逆的一种重要方法：严格对角占优

假设有这样一个矩阵

$A = [\begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix}]$

你能不能立刻说出它是不是可逆矩阵？

当然，如果你学过矩阵论，就知道这是一个（行列）严格对角占优矩阵，它一定是可逆的。

但是为什么呢？我们先来看看严格对角占优矩阵是什么样子的

定义

首先给定一个 $n \times n$ 的方阵 $A$

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]$

把对角线上的所有元素取绝对值，构成一个 $n$ 维向量 $x$

$x = (| a_{11} |, | a_{22} |, . . ., | a_{k k} |, . . ., | a_{n n} |)^{T}$

再把剩下的元素取绝对值，再按行求和，构成另一个 $n$ 维向量 $y$

$y = (\sum_{j \neq 1}^{n} | a_{1 j} |, \sum_{j \neq 2}^{n} | a_{2 j} |, . . ., \sum_{j \neq k}^{n} | a_{k j} |, . . ., \sum_{j \neq n}^{n - 1} | a_{n j} |)^{T}$

如果 $x$ 的第 $i$ 个元素都分别不小于 $y$ 中的第 $i$ 个元素( $1 \leq i \leq n$ )，那么矩阵 $A$ 就是行对角占优的；

如果 $x$ 的第 $i$ 个元素都分别大于 $y$ 中的第 $i$ 个元素，那么矩阵 $A$ 就是行严格对角占优的；

类似地，如果上面的 $y$ 是按列求和的，那么矩阵也可以分别是列对角占优或列严格对角占优的。

要想证明这个定理，很简单，这里给出传统的反证法

证明

假设 $A$ 不可逆，即 $det A = 0$ ，方程 $A x = 0$ 存在非零解，设其解为 $x = (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n})^{T}$ ，那么

为了方便，我们取 $x$ 中绝对值最大的一个，记为 $| x_{k} |$ ，即

$| x_{k} | = m a x (| x_{1} |, | x_{2} |, . . ., | x_{n} |)$

将 $x$ 代入方程 $A x = 0$ ，在第 $k$ 行有

$\sum_{j = 1}^{n} a_{k j} x_{j} = 0$

取出等式左边求和式里的 $a_{k k} x_{k}$ 放到等式右边，然后两边同时取绝对值，得到

$| \sum_{j \neq k}^{n} a_{k j} x_{j} | = | - a_{k k} x_{k} | = | a_{k k} | ∙ | x_{k} |$

根据严格对角占优矩阵的定义，我们有

$\begin{aligned} | a_{k k} | & > \sum_{j \neq k}^{n} | a_{k j} | \\ | a_{k k} | ∙ | x_{k} | & > \sum_{j \neq k}^{n} | a_{k j} | ∙ | x_{k} | \\ \geq \sum_{j \neq i}^{n} | a_{k j} | | x_{j} | \\ \geq | \sum_{j \neq i}^{n} a_{i j} x_{j} | \\ = | a_{k k} | ∙ | x_{k} | \end{aligned}$